2 竟然不是素数了？从自然数扩展到复数时会发生什么？

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2 竟然不是素数了？从自然数扩展到复数时会发生什么？

原创  刘啸  刘啸说点啥  2025 年 10 月 31 日 16:30  上海

素数是数论领域中的一个重要概念。如果一个大于 1 的自然数，没有 1 和它本身之外的因数，那么它就是一个素数。2 、3 、5 、7 …… 这些都是素数。

素数定义简单，但带来的坑却很多，比如哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、素数分布定理等，还有当年欧几里得给出的素数无限多的构造反证法，一直为人津津乐道。

2 作为素数里唯一的一个偶数，更是特殊得要命。比如 2 和 3 只相差 1 是最稠密的素数分布，2 还是“一个素数如果是两个整数的平方和那么它一定除四余一”的唯一反例。

如果有一天有人跟你说，2 不是素数，你一定会觉得对方不正常。

但如果这个人是数学王子高斯呢？

卡尔·弗里德里希·高斯擅长包括数论在内的众多数学领域，他之所以能给出上面的结论，是因为他将普通整数的唯一分解理论推广到复数域中的 a + bi（a、b∈Z）这种“复整数”集合，也就是说，在他的推广之下，“整数”和“素数”的概念，在复数域里就有了新的扩展定义。

高斯定义的复数域中的整数，是实部和虚部都是整数的复数。

复数域中对应到普通整数中的单位整数“1”，则包括 1 、-1 、i 、-i 四个单位整数。

那么，高斯给出的复数域中的素数定义就是：如果一个复数域中的整数，不能够分解成除了它自身、除了复数域中的单位整数之外的复数域整数乘积，那么，它就是一个复数域中的素数。

为了简明起见且避免混淆，人们就把复数域中的整数叫做高斯整数，把复数域中的素数叫做高斯素数。

回到题目，2 为什么不是（复数域中的）素数？

很简单，因为： 2 = (1+i)(1-i)  。


（好吧，这张图可以看作是相加：2 = (1+i)+(1-i ) ，但也可以看作是是相乘：2 = (1+i)(1-i) ）

实际上，除 2 之外，凡形式为“四的整数倍加一”的素数，都能分解成两个共轭高斯整数之积，也就是说，5 、13 、17 这些素数，在复数域中，都不算（高斯）素数了。

               5 = (2+i)(2-i)  ，13 = (3+2i)(3-2i) ，17 = (4+i)(4-i)  ，……

倒是那些形式为“四的整数倍加三”（或者“四的整数倍减一”）的素数，在复数域中仍保持着素数性质，无法分解为除自身和  1 、-1 、i 、-i  外的其他高斯整数。

而且，不光自然数，复数域中的高斯整数，也能做类似的高斯素数因数分解，譬如：

                  -10+25i = (2+i)(2-i)(-2+5i)  。

注意，这种分解和自然数中的素因数分解不同，它不是唯一的。

为什么？原因很简单。

因为复数域中的“单位整数”不止 1 一个。

自然数的任何一个数乘以1还能得到自身，可复数域中的任何复数，乘以一个“复数域中的单位整数”（1 、-1 、i 、-i 四选一），则可能有四个结果，其中只有一个仍是自身。

我们把高斯整数的分解表达式里任意拎出两个，一个乘以 i ，一个乘以 -i ，就能得到另外一种形式的表达式。

当然，也不会太多。

在数学领域中，“推广”这个手段，实在是太有魅力了。

比如阶乘，按定义，其定义域只能是正整数。

1 的阶乘是 1 、2 的阶乘是 2 、3 的阶乘是 6……

但偏偏就有高手将其推广成了 Gamma 函数，定义域扩展到实数域（甚至复数域），且在整数范围内仍保持阶乘函数的性质：



从百科上看，其图像虽然古怪，但至少在正整数上，还是符合阶乘结果的：


伽玛函数的图像

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