新的证明：探索 11 维肥皂膜的奇点，普拉托问题的最新进展

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新的证明：探索 11 维肥皂膜的奇点，普拉托问题的最新进展

原创  Steve Nadis  梧桐阅览  2025 年 11 月 14 日 08:00  中国香港

数学家们在“极小曲面”的研究中突破了一个长期存在的障碍，这种曲面在数学和物理学中都扮演着重要角色。


双曲面是一种最小化表面积的曲面，它已被应用于材料设计

在 19 世纪中叶，比利时物理学家约瑟夫·普拉托（Joseph Plateau）自幼就开始设计和进行科学实验，他将金属丝环浸入肥皂溶液中，并研究形成的薄膜。当他将金属丝弯成一个圆形环时，肥皂膜会拉伸覆盖在其上，形成一个平面圆盘。

但当他将两个平行的金属丝环浸入溶液时，肥皂膜会在它们之间拉伸，形成一个沙漏形状——数学家称之为悬链面（catenoid）。不同的金属丝框架会产生各种不同的薄膜，有些像马鞍或螺旋坡道，有些则复杂到难以描述。

普拉托认为，这些肥皂膜总是会占据尽可能小的面积。这就是数学家所说的最小化表面积。

数学家花了近一个世纪才证明他是对的。在 20 世纪 30 年代初，杰西·道格拉斯（Jesse Douglas）和提博尔·拉多（Tibor Radó）分别证明了“普拉托问题”的答案是肯定的：对于三维空间中的任何闭合曲线（你的金属丝框架），你总能找到一个最小化的二维表面（你的肥皂膜），使其具有相同的边界。这一证明后来为道格拉斯赢得了首届菲尔兹奖。


肥皂膜在金属丝框架内拉伸，形成最小化表面积的曲面

1985 年，数学家们证明，在八维空间中，确实可以通过微调消除奇点。但在更高维度中，“一切都会失控”，乔多什（Chodosh）说。奇点变得更加难以分析。近 40 年来，没有人能在这一问题上取得太多进展。

这一障碍终于被打破。2023 年，乔多什——与莱斯大学的克里斯托斯·曼托利迪斯（Christos Mantoulidis）和华威大学的费利克斯·舒尔茨（Felix Schulze）一起——证明在九维和十维空间中，光滑的最小化曲面是常态。

今年早些时候，该团队与康奈尔大学的王志涵合作，进一步证明在十一维空间中也是如此。


王志涵，2014 从山东省实验中学进入清华大学数学科学系，2018-2023 年就读于普林斯顿大学数学系，2023 获普林斯顿大学博士学位，师从巴西著名数学家 Marques ，2023-2024 年在美国芝加哥大学做博后。现为康奈尔大学博后。主要研究方向为微分几何。

这项工作标志着在理解高维空间中可能出现的奇异最小化曲面方面取得了重大进展。如今，数学家们可以利用这一成果解决一系列长期以来仅限于八维及以下空间的数学问题，从而使这些定理更具威力。

奇点的历史

1962 年，数学家温德尔·弗莱明（Wendell Fleming）证明，所有最小化的二维曲面——普拉托可能研究过的任何肥皂膜——都必须是光滑的。存在奇点的最小化曲面根本不存在。

这些二维曲面存在于我们熟悉的三维空间中。但当我们进入更高维度时，问题变得难以可视化。例如，在四维空间中，我们金属丝框架的类比是一个二维曲面，而普拉托问题要求我们找到填充该曲面的最小体积的三维形状。那个形状可能是什么样子呢？斯坦福大学的布莱恩·怀特（Brian White）说，“它可能非常糟糕——像分形一样，或者极其不规则。”


克里斯托斯·曼托利迪斯（左）、费利克斯·舒尔茨（中）和奥蒂斯·乔多什证明了在九维和十维空间中，大多数最小化曲面都是光滑的

在弗莱明证明后的几年里，数学家们证明了在四维、五维、六维或七维空间中，这种情况从未发生。最小化曲面总是光滑的。但在 1968 年，数学家吉姆·西蒙斯（Jim Simons）在八维空间中构造了一个七维形状，该形状在仅一个点上存在奇点。第二年，数学家们证明了这个形状是一个最小化曲面，从而确定了在八维空间中，最小化曲面确实可以存在奇点。

随后的问题是：这些奇点到底有多糟糕？它们是罕见的还是常见的？你能否通过以正确的方式稍微改变金属丝框架的形状来消除它们？“如果你想要了解曲面的性质，奇点会使分析变得更加困难，”怀特（White）说。但如果奇点只在罕见的情况下出现，并且你可以轻松地将其调整为光滑曲面，那么事情就会变得简单得多——例如，你可以使用微积分的工具。

1985 年，罗伯特·哈德特（Robert Hardt）和莱昂·西蒙（Leon Simon）证明了在八维空间中，最小化曲面具有这种良好的性质，数学家称之为“通用正则性”。但没有人能想出如何将他们的技术改编，以证明这种性质是否存在于更高维度中。

这种情况持续了几十年，直到乔多什（Chodosh）、曼托利迪斯（Mantoulidis）和舒尔茨（Schulze）介入。


悬链面（左）和科斯塔曲面（Costa surface）是最小化表面积的曲面的示例

他们首先重新证明了哈德特（Hardt）和西蒙（Simon）数十年前在八维空间中得出的结果，这一次他们采用了一种不同的方法，希望对其进行测试。首先，他们假设了与他们想要证明的相反情况：当你轻微扰动定义曲面的金属丝框架时，奇点（一个单点）总是会持续存在。每次你进行扰动，你都会得到一个新的最小化曲面，它仍然有一个奇点。然后，你可以将所有这些最小化曲面堆叠在一起，使得奇点出现的位置形成一条线。

但这不可能。1970 年，数学家赫伯特·费德勒（Herbert Federer）发现，在 n 维空间中的最小化曲面上的任何奇点，其维度最多为 n-8 。这意味着在八维空间中，任何奇点必须是零维的：一个孤立的点。不允许出现线。乔多什（Chodosh）、曼托利迪斯（Mantoulidis）和舒尔茨（Schulze）将费德勒的论证扩展到也适用于八维空间中的曲面堆叠。然而，在他们的证明中，他们产生了一个具有这样一条线的曲面堆叠。这个矛盾表明他们最初的假设是错误的——这意味着你可以扰动金属丝框架以消除奇点。


王志涵及其同事证明了在十一维空间中，当奇点出现在最小化曲面上时，可以通过“微调”将其消除

他们现在觉得自己已经准备好攻克九维情形。依旧沿用同样的思路：先假设最坏的情况——无论怎么微调，奇点都顽固存在；于是一连串扰动后，他们得到一叠无穷多的最小化曲面，每张都带着奇点。接着，他们祭出新工具“分离函数”，用来度量这些奇点之间的距离。倘若真有任何扰动都赶不走的奇点，分离函数就该永远保持微小。但三人证明，分离函数有时会突然变大：说明某些扰动足以让奇点消失。

就这样，他们确立了九维中最小化曲面的“通用正则性”。同样的论证在十维依旧行得通；然而到达十一维，奇点愈发棘手——他们的技巧对某种三维奇点束手无策。

“奇点种类繁多得像动物园。”曼托利迪斯说，“任何成功的论证必须足够宽泛，能把它们一网打尽。”

于是团队邀请对这类奇点钻研甚深的王志涵加入。四人合力，把分离函数打磨得足以应付最后这只“猛兽”。十一维问题终被攻克。

“能把我们的认知再往前推几个维度，真是太精彩了！”怀特感叹道。

不过，要想再往上走，恐怕得另辟蹊径。“我们需要新的配料。”舒尔茨说。

与此同时，数学家们期待这一成果能为几何与拓扑中的诸多猜想开路。许多关于具有特定曲率性质的形状是否存在、如何行为等命题，其证明都依赖最小化曲面的光滑性；因此这些猜想原先止步于八维。如今，它们被一举拓展到九、十、十一维。

同样受益的还有广义相对论中的一条重要论断——正能量定理。粗略地说，该定理断言“宇宙的总能量必为正”。1970 年代，Richard Schoen 与丘成桐利用最小化曲面在七维及以下给出了证明；2017 年，他们又把结果推广到所有维度。如今，关于普拉托问题的新进展为九、十、十一维提供了另一条验证正质量定理的途径。“他们给出了另一种更直观的推广方式。”怀特说，“不同的证明带来不同的洞见。”

这项工作还可能产生许多意想不到的后果。普拉托问题已被用来研究种种其他课题，其中之一便是冰如何融化。数学家们希望，团队的新方法能加深他们对这些联系的理解。

至于普拉托问题本身，前方现在有两条路：要么数学家们继续在越来越高的维度里证明通用正则性，要么他们发现越过十一维后，奇点再也无法被“晃掉”。后者“也将是种奇迹”，舒尔茨说，又一个待解之谜。“无论哪条路径，都会令人无比激动。”

Quanta 编者注：Jim Simons 创立了 Simons 基金会，该基金会资助这本编辑独立的杂志。Simons 基金会的活动对 Quanta 的报道无任何影响。

中文翻译编辑校对：酉木木

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