高斯的数学方法，让我学会接受不完美的世界

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高斯的数学方法，让我学会接受不完美的世界

原创  蔡驰南  蔡爸谈数学  2025 年 11 月 14 日 10:13  浙江

如果告诉你某饭店过去几年的利润，那么该如何预测下一年的利润呢？

高斯曾解决了一个类似的问题，并一战成名。他发明的方法不但在数学上很有价值，而且还蕴含了人生哲理，它让我意识到了，我们该如何接受不完美的世界。



我们可以假设利润与时间存在一定的函数关系，已知 6 个点的数据，我们就能画出一条函数，依次接近或者穿过这 6 个点，那么未来的走势就可以预测了。这里有一个专业术语叫“曲线拟合”。



但问题是用什么样的函数来拟合？

这有无穷多种选择，最简单的就是选择一阶函数：y=m+bx 。

接下来就是第二个问题：怎样让这个函数曲线实现最优拟合？

就是要找到参数 m 和 b ，让已知点“最接近”这条函数。

至于怎样才算“最接近”，那就不得不提高斯的成名作最小二乘法：找到一个曲线，让所有已知点到这条曲线的平均误差最小。


将每个点与曲线上对应函数值之间的误差平方（二乘）


将这些误差平方之后相加（Sum Squared Error）


不同的曲线参数会对应不同的误差的平方之和（SSE）


找到当误差的平方之和最小（Minimize SSE）时的参数 m 和 b

误差的平方之和，构成了由 m 和 b 为自变量的函数 G(m,b)

G(m,b)=(m+bx1-y1)^2+(m+bx2-y2)^2+(m+bx3-y3)^2+(m+bx4-y4)^2+(m+bx5-y5)^2+(m+bx6-y6)^2

我们就是要找到一组（m,b），使得 G 的函数值最小。

最优的（m,b）应该满足，G 对（m,b）的偏导数为零：



这就化成了二元一次方程组，自然就能求得 m 和 b 的值。



结果很简单直白，但现实经验告诉我们，增长率保持完全不变几乎是不可能的。

那么我们只需要回到第一步，选择更复杂一些的函数，用同样的方法求得最优参数。

比如我们选用二阶函数，则曲线是这样的。



如果我们要让这 6 个点完全被“拟合”呢？那至少需要五阶函数。



但这时你会发现，这个函数很不稳定，起伏很大，那它对未来的预测还靠谱吗？

答案是：不靠谱。

这又是为什么呢？这个函数明明是最精确的。

恰恰是因为它过于精确，反而错失了真实规律，它放大了每一个数据背后的偶然因素。比如：某一年饭店所在地突然进行整改，这一年的客流量明显下降，但后一年环境整治完，客流量又突然暴增。

这种情况被称为“过度拟合”，而这种偶然因素在数据中被称为“噪声”。

拟合噪声会让这条曲线无法抓住底层真实的数据趋势。

解释过去很容易，但预测未来却很难。

就比如这 6 个点，很多条曲线（数学模型）都可以给出解释，但只有那条能预测未来的曲线，才是有价值的。
所以，对于这个问题，二次曲线可能是一个更优的选择。


这里用到的最小二乘法是高斯 18 岁时发明的，他曾因此一战成名。

1801 年初，天文学家皮亚齐（Giuseppe Piazzi）发现了“谷神星”，他跟踪了这颗星星 40 天，之后谷神星消失在了太阳的炫光中。

对天文学来说，40 天的记录数据太少了，用以往的方法很难测算出谷神星的轨道，这意味着再过几个月，当谷神星从太阳背后绕出来时，天文学家将找不到它。

就在整个欧洲都一筹莫展之际，24 岁的天才数学家高斯出现了，他用了自己发明的最小二乘法，在数据明显不足的情况下，巧妙地消除了观测误差，给出了谷神星轨道的预测。而当时，高斯计算出来的结果与其他人的有很大差别。

但在这一年的最后一天（1801 年 12 月 31 日），奥地利天文学家冯·扎克（Franz Xaver von Zach）在高斯预测的位置附近找到了谷神星！

高斯一战成名，八年后（1809 年）他将自己的这套方法（最小二乘法）发表在了著作《天体运动论》里。



数学本是一门讲究精确性的学科，但高斯的思考，却告诉了我们该如何接受一个不完美的世界。

从大处着眼，不必一味追求局部的精确性，这样才能避免被过度干扰，从而发现更本质的规律。

人生何尝不是如此，不该让一些鸡零狗碎的事情，把我们的人生弄得起伏不定。放到整个生命的长度来看，眼前那些让你纠结的事，很可能不值一提。

懂一点数学，也许真的能让你活得更通透一些。

蔡爸谈数学