《我的几何人生》：霍金与彭罗斯、丘成桐与理察——的数学黑洞

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《我的几何人生》：霍金与彭罗斯、丘成桐与理察——的数学黑洞

原创  超级侧卫 6704  超级侧卫 6704  2025 年 11 月 19 日 23:21  广西

1 理察和我也着手考虑霍金和彭罗斯早在 1960 年代末到 1970 年代初的工作。在一系列文章中，他们精确地描述了在广义相对论中奇点产生的条件。

2 奇点指时空中的一点，诸如黑洞的中央，那里的重力、曲率和质量密度通通变成无限大。利用几何论证，霍金和彭罗斯证明了拘束曲面（trapped surface）的出现必然导致奇点。拘束曲面是正在崩塌中的曲面，它的“墙壁”向内收缩，迅速使面积趋于零，同时曲率趋于无限大。

3 理察和我更进一步，着手寻找拘束曲面出现的条件。经过一番努力，利用与霍金和彭罗斯非常不同的几何方法，我们证明了如果某区域的密度是中子星的一到两倍时，拘束曲面就必然会出现。

4 顾名思议，中子星差不多全由中子构成，它是宇宙中最细小但密度最高的星体，比水的一百万兆倍还要密。换句话说，一茶匙那么多分量的中子星物质，重量已经超过十亿吨，比吉萨的大金字塔还要重五百倍。

5 把我们的结果与霍金和彭罗斯先前的结果合并起来，就得到黑洞必然产生的条件。换句话说，我们利用数学证明了当物质分布的密度足够大时，黑洞必然产生。这个结果比由观察找到它们要来得早。

6 到了今天，天体物理学家认识到黑洞是十分常见的东西。差不多所有大的星系，其中心都隐藏着大大的黑洞。依我看来，证明黑洞的存在，是几何学对探索宇宙的重要贡献。

引者注：以上引自《丘成桐自传——我的几何人生》，丘成桐、史蒂夫.维迪斯著，夏木清译，译林出版社出版。

史瓦西，这位德国有名的天体物理学家，在 1915 年的《普鲁士科学院会议报告》里看到了爱因斯坦建立的广义相对论。他几乎立即就开始寻找爱因斯坦的新引力定律对星体能作出什么预言。他根据爱因斯坦的新场方程，详细计算了仼意无旋转球状星体外的时空曲率。他的计算简洁而优美，计算所预言的弯曲几何，很快成为大家都熟悉的史瓦西几何。

史瓦西几何应用达到某些临界条件时，必然会产生一视界，在那后面，引力之强使光也出不来，外部看来是黑的，就是今天说的黑洞。

在 20 年代和进入 30 年代后，世界上最有名的广义相对论专家是爱因斯坦和爱丁顿。他们为这个学科定下了理性的基调。在有人把黑洞当真时，爱因斯坦和爱丁顿不愿意。黑洞就是“味不对”，它们太奇怪了；它们违背了爱因斯坦和爱丁顿关于我们的宇宙应该如何表现的直觉。

但是黑洞这个新事物是广义相对论的数学结论，数学赋矛理论自身的生命力，使得理论比发明它的人还聪明。到 20 世纪 60 年代，黑洞的存在越来越不可避免。

1964 午，彭罗斯证明了黑洞的奇性定理。在这里，有些读者会疑惑，史瓦西几何推到极致就产生黑洞与奇点，那为什么又说彭罗斯证明了奇点定理呢？

原因在于，彭罗斯的奇点定理令人惊讶的地方在于它巨大的普适能力。它不仅适用于具有特殊理想化性质的（如完全球状的或没有压力的）坍缩恒星，也不仅适用于初始随机形变很小的恒星，而且适用于一切可以想象的坍缩恒星。这是因为彭罗斯应用了新的强大的数学工具——拓扑学，这才有这样惊人的结果。

后来，霍金与彭罗斯合作，将里洞的奇性定理进行完善与推广，特别是用到整个宇宙上，得到了宇宙大爆炸存在奇点的定理。从我们在丘成桐的自传里看到，他与孙理察进一步推广了霍全与彭罗斯的定理，证明了拘束曲面出现的条件。

由爱因斯坦广义相对论方程的史瓦西解即史瓦西几何，还有其他人比如奥本海默，苏联的一些物理学家，以及惠勒等的研究，广义相对论的数学明确了某些球对称等特殊条件下，黑洞与奇点的存在是不可避免的。彭罗斯引入拓扑学，与霍金一起证明了普适的奇性定理。数学家丘成桐、孙理察将证明更深入与完善，“我们利用数学证明了当物质分布密度足够大时，黑洞必然产生，这个结果比由观察找到它们要来得早。”

黑洞及其奇点，是先有数学的事物后有观测到对应事物的有名事件之一。

又注：还有很多类似的事件，比如狄拉克方程预言反物质，也是另一个。

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