庚子赔款数学题A6，运用牛顿法（ Newton method）获得近似值

dodonaomikiki

运用牛顿法画个示意图，可以求出
下面这个方程的近似解（实根），且在x=2附近！

  \(               x^4-5x-5=0             \)           

dodonaomikiki

先用二分法玩一玩！

                    \(                  ...                   \)


   \(          x1=1.5小于零    \qquad    x2=2.5大于零   \\
x3=2    \qquad      y=1    \\
告诉我们要取x1    \\
x4=(2+1.5)/2 =1.75    \qquad     y=-4.371     \\
告诉我们要取x3    \\
x5=(2+1.75)/2=1.875   \qquad     y=-2.0153   \\
告诉我们要取x3    \\
x5=(2+1.875)/2=1.9375    \qquad     y=-0.5957    \\
告诉我们要取x3    \\
x6=(2+1.9375)/2=1.96875   \qquad      y=0.1794   \\
告诉我们要取x5    \\
x7=(1.9375 +1.96875)/2=1.953125   \qquad            y=-0.2137   \\
告诉我们要取x6    \\
x8=(1.96875+1.953125)/2=1.9609   \qquad       y=-0.0185   \\
告诉我们要取x6     \\
x9=(1.96875+1.9609 )/2=1.9648   \qquad     y=0.0796   \\
告诉我们要取x8   \\
x10=(1.9609+1.9648)/2=1.96285    \qquad     y=0.02966\\
告诉我们要取x8\\
x11=(1.9609+1.96285)/2=1.961875   \qquad     y=0.005068\\
循环往复之\\
无穷无尽也  \)

dodonaomikiki

Newton   Iteration好像速度遽然提速！
速度很快，效率很高！


历史源由很好玩哦！
牛顿在《流数法》（Method of Fluxions，1671年）首先提出来！

不过，这个办法也叫\(       Newton-Raphson      \qquad           method                 \)                 

dodonaomikiki

牛顿-拉夫森算法（Newton-Raphson Algorithm），
在数值计算中得到广泛应用，
基于泰勒级数（Taylor series）的思想，
通过不断逼近方程的根来得到方程的解




现在回想起来，考试虽然过去将近百年，
但还是很有意义！
通过画出示意图，
了解牛顿迭代的几何本质（切西瓜），
在几何学意义上得到圆融自洽！

dodonaomikiki

fluxion这个词汇了解一哈！
委实生僻，委实少见！
除了迭代法这里，其他地方从未见过！需要了解一哈！熟悉一哈






n.
\(          流动；不断的变化；转变；飞跑；消失;微积分；流数术        \)
例句
A Study on Regional Economic Development Based on Resources Fluxion
基于资源流动的区域经济发展研究

dodonaomikiki

运用迭代公式：
\(   x1=x0--\frac{   f(x0)        }{         f'(x0)         }           \\

x2=x1--\frac{   f(x1)        }{         f'(x1)         }           \\

x3=x2--\frac{   f(x2)        }{         f'(x2)         }     \\


x4=x3--\frac{   f(x3)        }{         f'(x3)         }     \\


x5=x4--\frac{   f(x4)        }{         f'(x4)         }     \\

x6=x5--\frac{   f(x5)        }{         f'(x5)         }     \\
无穷匮也\)


  \(              x1=2-\frac{   16-10-5    }{        32-5         }     =2-1/27  =53/27      \approx    1.963      \\
x2= 1.963 -  [(    x)^4  -5x-5     ]  /[    4 (  x)^3-5 ]   \\
=1.963 -  [(   1.963 )^4  -5 \bullet  1.963 -5     ]  /[    4 (  1.963 )^3-5 ]  \\
  \approx  1.963 -    0.03345/25.25665     \\
  \approx     1.963-  0.00132=1.96168   \\
x3=1.96168- [(   1.96168 )^4  -5 \bullet  1.96168 -5     ]  /[    4 (  1.96168 )^3-5 ]  \\
\approx  1.96168-       0.00015  / 25.19566      \\
  \approx    1.96168- 0.595/100000=1.96167  \\



   \)




算到这里就有点不想酸辣！
反正倒代回去，
看看效果咋样！
\(             x^4  -5x-5 =1.96167^4  -5   \bullet  1.96167 -5      \approx     -0.00009                        \)
由此可见，已经非常接近！
所以回望过去，  可以説这个迭代法简直就是逼近准确值得杀手锏！
效果的的确确可以！

ataorj

x=(5x+5)^0.25
右边x=1得左边x:[反复左边结果代入右边得到新的左边x]
1.77828
1.93057
1.95650
1.96082
1.96153
1.96165
1.96167

ataorj

如图,45°红线和函数图像的焦点就是最终答案,
x>=-1,这里先不考虑负数.显然是增函数且x>1
x取小时的图像在红线上方,迭代结果必然让x变大
x取大时相反,总之就是结果收敛,无论初值多大.

ataorj

H点是结果,从其附近取值也不会动荡,即初始迭代点若
在H左边,后续落点绝不会跑到右边.相反亦然.
这里的Hy不可被逾越.这是理论上的,
没考虑实际计算精度对误差的处理方式.