数学符号体系的建立（一）

luyuanhong

数学符号体系的建立（一）

原创  作者  数学文化与数学教育  2025 年 12 月 3 日 15:32  山东

数学是符号化、公理化、形式化的科学，数学中所使用的符号，比如量的符号、运算符号、关系符号等是所有科学门类中最多的。符号在数学上的应用能大大节省人们的运算成本、表达成本和推理成本，减轻人们的思维负担，更好地促进数学的发展。在数学的发展历史中，广泛使用阿拉伯数字和运算符号，将人类从繁重的计算劳动中解放出来，极大地推动了数学知识在民众中的传播，促进了“算术”向数学的转变。引入未知量、用字母表示未知量进行运算，是数运算转向符号运算（韦达称为类的运算）的标志，开启了数学抽象化、符号化的大门。

一、算术符号的应用

我们现在已经习惯了用阿拉伯数字表示数量，用 + 、- 、× 、÷ 等运算符号表示数之间的运算关系，非常自然地用横式或竖式进行演算。但是这一切却经历了漫长的岁月，是众多数学家长期艰苦努力的结果。

1.“+”和“-”

产生于古埃及的莱茵德纸草书，把加号写成像一个朝右走的人的两条腿的形状，减号写成像一个朝左走的人的两条腿的形状。古巴比伦人把数字合在一起表示相加，用一个特定的符号表示减法。

古希腊数学家丢番图（约 246 ～ 330 年）是最早自觉使用符号的人。他用希腊字母表示未知量（丢番图称作“题中的数”），把各项并列在一起表示相加，用记号表示乘幂、减法、相等。但是丢番图所采用的符号、记号较为随便，没有流传下来。这一时期的数学家还没有意识到符号体系对数学发展的推动作用，直到欧洲文艺复兴时期，人们仍用掺杂一些特殊词语、缩写、数字符号的文字书写代数。

15 世纪，德国数学家谬勒（1436 ～ 1476 年）在手稿中用“et”表示加号。法国数学家许凯（约 1436 ～ 约 1500年）在字母 p 上加一短横表示加法，在字母 m 上加一短横表示减法，p 和 m 分别是古德文“Plus”（加）和“Minus”（减）的第一个字母。印刷术的普及客观上促进了数学符号体系的建立。意大利修道士帕乔利（约 1436 ～ 约 1517 年）于 1494 年出版的著作中记载了阿拉伯数字和大量数学符号，他直接用字母 p 表示加法、m 表示减法。

1482 年（又说 1486 年），德国数学家瓦格涅尔于其手抄本著作中使用了“+”“-”号。1489 年，德国数学家维德曼在出版的著作中用“+”和“-”号表示“多了”和“少了”。据说维德曼是受了酒店葡萄酒桶上用“+”和“-”号表示盈余和不足的启发。后来，“+”和“-”号逐渐被人们用作表示加法、减运运算。

我国古代用算筹或算盘进行计算，用文字记录加法、减法，直到清代数学家李善兰把“+”“-”符号介绍到中国。李善兰为了避免“+”“-”号与中国数字“十”“一”相混淆，把这两个符号改写成“⊥ ”和“┬”。

2.“×”和“÷”

古巴比伦人使用楔形记号表示乘法运算，古印度人把乘数写成一排表示相乘（即“省略乘号”）。英国数学家奥特雷德（1575 ～ 1660 年）最早以“×”表示两数相乘，用括号当做除号，如以 a)b(c 来表示 b÷a=c 。英国数学家哈利奥特（1560 ～ 1621 年）在死后 10 年出版的著作中，首次把“·”作为乘号。1637年，法国数学家笛卡尔（1596～1650年）在其著作中也使用“·”表示乘法。1698年，德国数学家莱布尼茨（1646～1716年）在给伯努利的信中提倡用“·”作为乘法记号，以免与印刷体字母 x 混用。最终，人们采用了“省略乘号”、“×”、“·”三种表示不同场合的乘法的记号。

最早，阿拉伯人在两数之间加横线、斜线或用现在的分数形式，表示两数相除。公元800年前后的阿拉伯数学家花拉子米（约780～850年）也曾把3除以5写成分数形式。1666年，数学家莱布尼茨在一篇论文中首次提出把“:”用作除号或比号。1659年，瑞士数学家雷恩在他的书中最早用“÷”作除号，因其寓意鲜明、美观简洁逐渐流行开来。数学家们还使用了大量其他表示除法的记号，都被历史所淘汰，现在各国通用的除号是“÷”和“:”。

我国古代把被乘数、被除数叫做“实”，把乘数、除数叫做“法”，两数相乘的结果叫做“积”、相除的结果叫做“商”，乘、除法是用文字表达的。清末李善兰首次把“×”和“÷”引进中国。

3. 分数线

中国是较早应用、研究分数的国家之一。我国古代以汉字和算筹记叙分数及其运算，古巴比伦人和古埃及人分别用楔形文字和象形文字表示分数，古希腊数学家用特定的字母表示分数。3、4世纪的印度人将分子写在上面、分母写在下面表示分数，此时，分数线已呼之欲出了。公元800年前后，阿拉伯数学家花拉子米从除法的角度理解分数，在分子、分母中间画出一条横线，这是最早的分数线的记载。1175年，在阿拉伯数学家哈萨的著作中出现了繁分数，最早使用了现代意义的分数线。

1845年，为方便排版，英国数学家摩根建议在印刷书籍中用斜线代替横写的分数线，为人们认可。后来在欧洲又出现了百分数，使用了百分号、千分号。

4. 小数点

小数是十进分数的简写，古代各个国家对小数的称呼和记法皆不相同。中国是世界上认识、应用小数最早的国家，我国古代曾一度用丝毛等实物作为不同数位的小数名称，表示十进小数。如约成书于公元 3、4 世纪的《孙子算经》记有：“度高所起，起于忽，十忽为一丝，十丝为一豪，十豪为一厘，十厘为一分。”“厘”指牦牛毛，“豪”指猪毛，“丝”是蜘蛛吐的丝，“忽”指蚕吐出的丝，古人认为蛛蛛丝比蚕丝粗 10 倍。现在我们通常说的“忽略”“丝毫”等词语即来源于此。分以下为小数，刘徽在《九章算术》注中称为微数。我国一直没有小数点记号，秦汉以后用“寸”“余”“忽”等文字作为整数与小数部分的分界，实际上起到了小数点的作用。古印度继承了中国的十进小数表示法，但他们改用圆圈把每位小数圈起来，阿拉伯人在印度记法的基础上又作了改革。1427 年，阿拉伯数学家卡西在他的书中用竖直线把整数部分与小数部分隔开。15 至 16 世纪的 100 多年时间里，欧洲数学家们创用了多种表示小数的符号，多因记法繁琐没能得到人们的认可。直到 1593 年，意大利数学家、教师克拉维斯（1537 ～ 1612 年）在他出版的著作中首次使用了现代意义上的小数点，作为整数与小数部分的分界记号，这个简单的记法很快普及开来。为避免与乘号“·”混淆，人们把小数点放在整数部分最后一个数字的右下角。1617 年，对数理论的创建者，英国数学家、农场主纳皮尔（1500 ～ 1617 年）在书中用逗号“,”将整数与小数部分隔开，至今被一些国家沿用。有趣的是，另一个对数理论的创建者，瑞士数学家、钟表匠比尔吉（1500 ～ 1617 年）曾用空心小圆圈作为整数与小数部分的分界点。

今天，世界各国通用的小数记法是小数点和逗号。最早应用、研究小数的我国，直到 19 世纪末才用“.”表示小数，用“，”作为分节号。

5. 两点感想

探寻算术符号从无到有的历史，不免感慨万千，现记录两点。

其一，自公元前 4 千多年古巴比伦先民用他们特有的楔形数字进行计算，到 16 世纪阿拉伯数字及运算符号的普及应用，多少代人在“文字式”繁琐计算的泥潭中跋涉。从文字到字母、符号，人类跨越这个鸿沟用了数千年之久。可见，人们对符号化、形式化的抽象思维是多么的抵触和不适应，那些在数学符号、式子面前无奈无助的学生是多么的情有可原。其二，我国是世界各国中较早认识、应用分数和小数的，但简洁、高效的数字及运算符号没有诞生在中国，普及应用也比欧洲国家晚得多。其原因除了人类思维的局限性外，和我国明清时期的闭关锁国政策有莫大关系。17 世纪，明末数学家徐光启翻译了《几何原本》前 6 卷，西方初等数学第一次传入中国。18 世纪清代数学家李善兰翻译了《代数学》《代微积拾级》等西方高等数学著作，把阿拉伯数字和“+”“-”“×”“÷”等运算符号引入中国。由于明清朝廷盲目排外，士大夫普遍精于科举而不重视科学技术，这些先进的科学知识长期被冷遇甚至排挤。如清代一位江苏督学主持算学考试时，发现某考生答卷上的数目都写成了阿拉伯数字，竟斥责考生心术不正，并停发津贴以示惩戒，致使考生羞愤而死。徐光启、李善兰打开了“西学东渐”的大门，但“中西会通”并未蔚然成风，直到民国时期新式学堂的兴起，西方先进科学技术知识才在古老的中国生根发芽。世界发展史早已证明，国家开放才能繁荣，文明互鉴才能进步，以包容之胸怀拥抱世界才能屹立于世界。

参考文献

1. 徐品方,张红.数学符号史[M].北京:科学出版社,2006.

2.（美）克莱因（Kline，M.）.古今数学思想（第 1 册）[M].张理京等,译.上海:上海科学技术出版社,2014.

3.（美）卡茨（Katz,V.J.）数学史通论[M].李文林等,译.北京:高等教育出版社,2004.

数学文化与数学教育