质数间隔覆盖猜想及其对哥德巴赫猜想的蕴含

朱明君

质数间隔覆盖猜想及其对哥德巴赫猜想的蕴含

摘要：本文提出质数间隔覆盖猜想：对任意质数间隔记录点b，由不超过b的所有质数及紧随其后的K个质数构成的有限集合S(b)，能通过加法覆盖区间[4,2b]内的所有偶数。我们证明该猜想蕴含哥德巴赫猜想，从而将这一经典无穷问题转化为有限集合的覆盖问题。

1. 引言
哥德巴赫猜想要求每个不小于4的偶数可表为两质数之和。我们引入质数间隔记录点的概念，构造有限集合S(b)，并提出弱覆盖猜想，将原问题结构化。

2. 定义
设b为质数间隔记录点，即存在质数a<b使K=b-a为不超过b的最大质数间隔。定义S(b)={p≤b:p为质数}∪{q_i:i=1,...,K}，其中q_i为大于b的第i个质数。
若S(b)能覆盖[4,2b]内每一偶数（即每个偶数可表为S(b)中两质数之和），则称其具弱覆盖性质。

3. 核心定理
定理：若对每一记录点b，S(b)均具弱覆盖性质，则哥德巴赫猜想成立。
证明：对任意偶数n≥4，取记录点b≥n/2（因记录点无穷）。由弱覆盖性，存在p,q∈S(b)使n=p+q，而S(b)中元素均为质数，故得证。

4. 猜想与验证
质数间隔覆盖猜想：每一记录点b对应的S(b)均具弱覆盖性质。
该猜想已在b=5,7,11,17,29,97,127等点验证成立。

5. 意义与展望
本猜想将哥德巴赫猜想转化为有限集合的覆盖问题，揭示了质数分布中间隔与补偿的潜在机制，为证明提供了新途径。未来工作包括进一步数值验证及理论证明。