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欧拉：至高无上的几何学家——智慧是那个时代最高的美德
作者 C.Truesdell 原本 1024 2025 年 11 月 21 日 08:45 上海
前言：虚心学习就能学好，正确的方向加上勤奋努力自然能成才。
● 欧拉于 1707 年出生在巴塞尔，一位贫穷牧师的长子，家有两室：一间是书房，另一间是卧室，全家六个孩子就住在里面。
● 在他年幼的时候，他的父亲便亲自教授他数学，由于他父亲曾是世界著名数学家伯努利的学生，从小就让他学习最基本的数学原理，数年如一日，勤勉地学习并钻研这些内容。
● 不久，欧拉被送到巴塞尔由祖母抚养，一方面在中学上课，另一方面接受私人辅导，在古典语言和文学上打下了基础，同时继续进步于数学。
● 当时的学校状况堪称糟糕，课堂上学生时常大打出手，甚至家长偶尔也会来攻击老师。数学课程完全缺失，欧拉只好接受一位年轻神学生的私人指导，这位神学生在数学上也算有些造诣。
● 十三岁时，欧拉进入巴塞尔大学文学院学习，教学质量普遍低劣，教授们薪水微薄、教学敷衍，唯有数学教授约翰·伯努利（John Bernoulli）例外。
● 欧拉对伯努利充满了敬意，伯努利非常忙碌，不可能给年轻的欧拉单独授课，但他允许欧拉每周一次到他家里，把一周学习中遇到的难题请教他。伯努利总是耐心解答，或者至少给他指点正确的方向。
● 欧拉完全投入到数学的学习之中，并且取得了极大的进步，很快就掌握了当时所能得到的几乎全部数学书籍，并且能够自如地阅读它们。
● 在大学的前两年，欧拉学习了古典语言、逻辑学、哲学，约翰·伯努利看出他真正的天赋所在，便劝说他的父亲同意让他专心攻读数学。于是，欧拉从 1723 年起就完全转向了数学与自然科学的研究。
● 从此欧拉开启了成神之路......................
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在那个时代，智慧被视为最高的美德。即便是那些被认为懒惰、愚钝的男女也常被描绘成双眼闪烁、精神敏锐、充满理解力的形象。在这样的氛围下，欧拉的名字，作为 18 世纪最伟大的数学家，在一个几乎一致认为数学就是知识顶峰的世纪里，比当时的文学和音乐天才（例如斯威夫特和巴赫）还要更为人所知。在整个文学的星空里，只有伏尔泰能在声望上超越欧拉。
不过，在全世界范围内，真正能与欧拉对话的人不过七八个，伏尔泰并不在其中。而且欧拉写下的大部分内容，只有两三百人能够真正读懂，伏尔泰也不在这一群体之内；但这并不妨碍伏尔泰从远处仰望这座高峰。
在 1754 年出版的《The Gentleman's Magazine》中，一篇题为《一切力学的一般与基本原理》的文章节选自欧拉在柏林科学院的最后一份《回忆录》。这位不具名的编选者在结尾指出：欧拉的原理“囊括了所有能够帮助我们理解任何物体在任何环境下运动规律的原则”。今天我们称这条原理为动量守恒定律（linear momentum principle）。而这只是三条基本运动原理之一：另外两条是角动量守恒定律（rotational momentum principle）和能量守恒定律（principle of energy）。前两条原理由欧拉本人在 25 年后提出并系统表述，它们是他在研究特殊旋转问题时的成果；而最后的能量原理则留待 19 世纪的物理学家去发现。
欧拉的著作数量之庞大，需要用整整一大卷来列举。大约整个 18 世纪后三分之三的数学、数学物理和工程力学研究成果，都可以在欧拉的名字下找到。
在 18 世纪后三个季度里，关于数学、数学物理和工程力学的出版物，有大约三分之一出自欧拉之手。
从 1729 年开始，他几乎占据了圣彼得堡科学院出版物的一半篇幅，这种情况一直持续到他 1783 年去世，并且在他死后五十多年里仍不断有遗稿刊行。（这恐怕是科学史上最长的出版记录之一，他在 1777 年向科学院递交的回忆录竟直到 1830 年才刊出。）
从 1746 年到 1771 年，欧拉又填满了柏林科学院学报中大约一半的科学内容。他还为其他期刊撰稿，另外还把部分论文卖给书商，专门集结成一册册全是他本人作品的论文集。
到 1910 年时，欧拉的出版物数量已达 866 篇，而在过去十年间，他的五大卷手稿才刚刚开始刊行。欧拉的作品几乎没有任何重复，即便是讲解性的书籍，也多达二十五卷，内容涵盖代数、分析、几何、力学、光学、哲学乃至音乐等学科。
1911 年开始的《欧拉全集》工程至今尚未完成。这部全集主要是把 1910 年前已出版的作品重新汇编，但仍需 74 大册（每册 300 至 600 页）才能容纳完。除此之外，欧拉还留下了 3000 页清晰连贯的数学笔记和几部未完成的书稿。
这些手稿可以分为四类：
1. 在欧拉生前已经整理并刊行的。
2. 打算刊行并在他死后由圣彼得堡科学院陆续发表的。
3. 欧拉本人未准备发表，但后来由他人整理成《算术论文集》（1849 年）和《遗著》（1862 年两卷本）。
4. 直到 1966 年仍未刊行的部分，许多至今仍在稿件中。
此外，欧拉与欧洲各地学者和官员保持通信，他的书信内容涵盖地理、化学、机械、探险、生理学、经济学等各方面。现存的欧拉书信大约 3000 封，目录本身就占据厚厚一卷，其中近三分之一已刊行，多以专题通信集的形式出版。第一部通信集于 1843 年出版，对 19 世纪数论的发展具有极大推动作用。
在 19 世纪，尤其是数论方面的发展，大量源自欧拉的通信——尽管这些通信的作者早已去世五十多年。这种“超越时空的影响力”，文学家或历史学家也许难以理解，但在数学与物理学的传统中却十分常见：好的数学具有这种持久性。
在今天，“欧拉”这个名字已成为数学传统的代名词，他的名字附着在遍布数学各个分支的数十个定理上。更令人惊讶的是，即便在这种模糊而不完整的传统之上，欧拉原著本身的影响依旧持续发力。根据 《科学引文索引》（Science Citation Index） 的统计，从 1975 年到 1979 年，大约有 100 篇欧拉的著作被引用了 200 次，其中大多数引用出现在现代科学研究的论文中，而不是历史研究。
欧拉是西方世界第一个用“平易而开放的方式”来书写数学的人。他让同时代人相信，微积分并不是某种神秘的技巧，而是任何人只要有足够努力，就能学会并加以应用的工具。欧拉因其行文的清晰与坦诚著称，他不会掩盖困难，而是尽量为读者解释。
尽管他的许多著作密布计算，但仍有四本书是通俗的：
● 一本为俄国学校编写的教科书；
● 一本海军手册（正是杜尔哥建议在法国重印的那本）；
● 一本代数学著作《Elements of Algebra》，从最基本的数数方法讲起，逐渐引入数论的微妙难题；
● 一本题为《致德国公主的信》，内容是对物理学和形而上学的一般性讨论。
最后一本书，是 18 世纪以前最广泛传播的物理学著作。它被译成八种语言，英文版至少重印了十次，每次都有所修订以保持与时俱进；其中六个版本在美国出版，最后一个是在 1872 年，比初版（1768 年）晚了 104 年，但距今反而比初版还近。
虽然今天我们更多记住欧拉作为数学家，但他其实也是他那个时代最伟大的物理学家。这一身份曾被掩盖近 200 年，直到近代 David Speiser 的研究才重新确立。
欧拉是第一个用分子运动理论推导出气体状态方程的人。他发明了消色差透镜；他设计的透镜以清晰、稳定、可重复性高著称，这种设计后来推动了德国光学工业的崛起，其领先地位保持了至少一个世纪。欧拉还设计并制造了测量液体折射率的仪器，这个装置沿用了一百五十年之久。欧拉的流体力学研究，则开创了第一个独立的物理学分支——流体动力学。
欧拉在力学之外的物理学贡献中，还有一点极为重要：他注意到光线的光束彼此交叉时并不会互相干扰。这一事实让他提出了一种解释：利用声波的线性场理论，把光波描述为在以太中传播的波动，把以太设想为一种微妙的流体。这便是他在光学理论上的重要一步。
欧拉的生平起点
要研究欧拉的工作，就必须放眼于整个 18 世纪的科学生活，乃至那个时代全部的思想世界。这里只是尽力勾勒出他的为人。
莱昂哈德·欧拉于 1707 年出生在巴塞尔，是一位贫穷牧师的长子。后来，全家搬到附近一个小村子。牧师的家有两间房：一间是书房，另一间是卧室，全家六个孩子就住在里面。
在他六十岁时口述给长子的自传里，欧拉写道，在他年幼的时候，他的父亲便亲自教授他数学：
由于父亲曾是世界著名数学家詹姆斯·伯努利的学生，他立刻让我学习最基本的数学原理。为此，他采用了克里斯托弗·鲁道夫（Christopher Rudolf）的《代数学》及迈克尔·施蒂费尔（Michael Stiefel）的注释版。我数年如一日，勤勉地学习并钻研这些内容。
这本教材当时已出版 160 年，只有天资聪颖的孩子才能掌握。
不久，欧拉被送到巴塞尔，由祖母抚养，并且：
一方面在中学上课，另一方面接受私人辅导，在古典语言和文学上打下了基础，同时继续进步于数学。
当时的学校状况堪称糟糕：课堂上学生时常大打出手，甚至家长偶尔也会来攻击老师。数学课程完全缺失，欧拉只好接受一位年轻神学生的私人指导，这位神学生在数学上也算有些造诣。
十三岁时，欧拉进入巴塞尔大学文学院学习。当时该校约有 100 名学生，19 位教授。教学质量普遍低劣，教授们薪水微薄、教学敷衍，唯有数学教授约翰·伯努利（John Bernoulli）例外。
约翰·伯努利是大数学家詹姆斯·伯努利的弟弟。他既是一位强悍的数学家，也是一位“笔尖上的战士”，以锐利的文笔闻名，几乎在几何学上仅次于年迈而沉默的牛顿。他在巴塞尔定居，虽然曾多次收到欧洲各大名校的聘请，但因为岳父的压力不得不留在本地。
欧拉对约翰·伯努利充满了敬意。伯努利非常忙碌，不可能给年轻的欧拉单独授课，但他允许欧拉每周一次到他家里，把一周学习中遇到的难题请教他。伯努利总是耐心解答，或者至少给他指点正确的方向。
欧拉在自传中写道：
我完全投入到数学的学习之中，并且取得了极大的进步。我很快就掌握了当时所能得到的几乎全部数学书籍，并且能够自如地阅读它们。
在大学的前两年，欧拉学习了古典语言、逻辑学、哲学，甚至还学习了神学。按照父亲的期望，他原本应当走神职道路。然而，约翰·伯努利看出他真正的天赋所在，便劝说父亲同意让他专心攻读数学。于是，欧拉从 1723 年起就完全转向了数学与自然科学的研究。
1726 年，年仅 19 岁的欧拉就获得了哲学博士学位。他的毕业论文题目是：关于声波在空气中传播的性质。在这篇论文中，他已经展现出对物理学问题的兴趣和对数学工具的熟练掌握。
同年，他又参加了巴黎科学院的一次论文竞赛，题目是如何在船上布置桅杆以获得最佳航行效果。虽然他没有获奖，但他的论文被认为具有高度的原创性。值得注意的是，在之后的 40 年里，欧拉又 12 次参加巴黎科学院的竞赛，其中 12 次有 10 次获得了一等奖！这本身就说明了他的学术声望和创造力。
1727 年，20 岁的欧拉受圣彼得堡科学院的邀请，前往俄国担任职位。他接受了这一邀请，开始了他学术生涯的第一段辉煌旅程。
1727 年，年仅二十岁的欧拉抵达圣彼得堡。当时的圣彼得堡科学院是由彼得大帝于 1724 年创办的，目的在于引进欧洲最先进的科学成果，以推动俄国的现代化。科学院的首批成员大多来自德国和瑞士，其中包括著名的伯努利家族成员。
欧拉在学院里最初被安排在医学和解剖学的职位上，但他很快就转入数学和物理学领域，因为这才是他的真正专长。与此同时，他也协助学院的天文学和航海部门，负责一些观测和计算任务。
在圣彼得堡的最初几年，欧拉的生活并不容易：他身处异乡，薪资微薄，而且俄国政局动荡，科学院的资金经常被削减。然而，他依旧保持着惊人的研究产出。他不仅撰写了大量关于解析几何、力学和数论的论文，还出版了自己的第一本重要著作《力学》（Mechanica, 1736），系统阐述了牛顿力学的数学基础。这部著作使他在欧洲学术界一举成名。
在圣彼得堡期间，欧拉还结识了许多重要的朋友和同事。他与丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）关系尤为密切，两人合作研究流体力学问题。他们一起探讨了液体压力、管道流动以及阻力问题，为后来的流体动力学奠定了基础。
1733 年，丹尼尔·伯努利返回巴塞尔任教，欧拉则接替了他在圣彼得堡的数学教授职位。同年，欧拉与一位德国牧师的女儿结婚，建立了自己的家庭。欧拉是一个顾家的丈夫和父亲，他的家庭生活稳定而幸福，这也使他能够在学术上持续高产。
到 1741 年，欧拉已经成为圣彼得堡科学院的核心人物。但这一年，他接受了普鲁士国王腓特烈大帝的邀请，迁往柏林科学院任职，在那里度过了接下来长达 25 年的时光。
1741 年，欧拉迁居柏林，接受了腓特烈大帝的邀请，加入新近复兴的柏林科学院。腓特烈大帝非常重视学术，他希望借此提升普鲁士的声望。欧拉在科学院中担任重要职位，成为当时柏林学术生活的核心人物。
在柏林的 25 年里，欧拉的学术产出达到了顶峰。他几乎涉猎了当时数学和自然科学的所有领域。这里，他写下了许多后来被认为是“经典”的著作：
●《解析几何入门》（Introductio in analysin infinitorum, 1748）：这本书奠定了现代数学分析的基础，其中首次系统化地引入了函数概念，并详细研究了无穷级数与三角函数。
●《无穷小分析基础》（Institutiones calculi differentialis, 1755）：系统讲解微分学的原理和方法。
●《积分学基础》（Institutiones calculi integralis, 1768–1770）：三卷本，全面总结积分学的理论与应用。
此外，他还写下了 《代数学基础》（Elements of Algebra），这本书从最基础的算术知识讲起，一步步引入代数的核心思想，至今仍是学习代数的极好入门书。
在柏林，欧拉不仅是一个多产的数学家，更是一个细致入微的教师。他经常耐心地为学生和同事解释复杂的问题。他的风格清晰、直率、不加掩饰，这使得他的著作对后世学生特别友好。
然而，欧拉在柏林的生活并非一帆风顺。他与腓特烈大帝之间关系逐渐紧张。腓特烈大帝崇拜法国启蒙思想家，尤其推崇伏尔泰，而他认为欧拉性格过于朴实、缺乏机智。伏尔泰甚至嘲笑过欧拉的质朴风格，把他形容成“一个笨拙的几何学家”。
尽管如此，欧拉并没有理会这些讽刺。他继续埋头于研究，写下了一篇篇论文和书籍，涵盖数论、力学、天文学、光学乃至音乐理论。他的成果让柏林科学院在欧洲学术界声望日增。
到 1766 年，欧拉决定离开柏林，返回圣彼得堡。他此时的视力已大受损害，但依然保持着惊人的研究热情。
1766 年，欧拉返回圣彼得堡，再次进入科学院任职。此时他已 59 岁，视力严重衰退，不久之后完全失明。然而，他的失明并没有阻止他继续研究与写作。
凭借惊人的记忆力和逻辑思维能力，欧拉能够在脑海中完成复杂的推导和运算，然后口述给助手记录。人们说他“在完全失明后仍然写下的数学，比世上任何两位健全的数学家加起来还要多”。
在圣彼得堡的晚年，欧拉依旧保持着极高的创造力。他在数学、物理和工程的多个领域继续写作和发表论文，其中许多成果都是在失明后完成的。他的《积分学基础》三卷本就是在这一时期口述而成的。
欧拉的家庭生活在这一阶段也颇为重要。他的第一任妻子在 1773 年去世，之后他与妻子的半个妹妹再婚。尽管家中子女众多，欧拉依然能够兼顾家庭与学术。他以善良、谦逊、深具信仰和温和著称，是一个令人敬重的人。
1783 年 9 月 18 日，欧拉在圣彼得堡与朋友们谈论行星运动问题时，突发脑溢血，当天去世，享年 76 岁。据传，他去世的消息震动了整个欧洲，当时的法国《百科全书》甚至写下这样的悼词：“欧拉已死，然而他未曾死去。”
在他去世后，圣彼得堡科学院仍持续刊行他的遗稿达五十余年之久。这种情况在科学史上极为罕见，充分显示了欧拉著作的庞大和持久影响力。
欧拉不仅是 18 世纪最伟大的数学家，也是一位横跨物理、天文学、工程学乃至音乐理论的通才。他的著作与方法，深深影响了整个 19 世纪的科学进程，并为现代数学与物理打下了坚实的基础。
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发表于 2025-12-19 10:43
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