辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

作者：朱火华
日期：2025年11月25日

摘要：本文提出了一种将任意平面图系统性地转换为单中心轮图的数学理论框架。首先，通过引入一个固定的6顶点双层虚拟环对原图进行包裹，实现虚拟环标准化，得到顶点数为  n新= n原+ 6  的标准化图。基于此，定义了核心不变量——辐边总和数  w ，并证明了其普适计算公式  w = 6(n新- 4) 。其次，通过轮构型分解与具有“榫卯接口”的几何拼接操作，将标准化图等价转换为一个辐边数（环上节点数）为  w  的单中心轮图  W 。该变换被证明是可逆且着色等价的，即原图  G  与轮图  W  在四色着色问题上完全等价。最后，由重构公式  ⊙= 1 + w  确定轮图规模，并利用轮图的简明着色规则完成着色。本框架提供了一种统一处理平面图（包括各种复杂结构及传统不可避免构形集）的构造性方法，为四色着色问题及相关算法研究提供了新的理论基础。

关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理

开言（论文导读）

本文致力于为二维平面图的四色着色问题提供一个统一、构造性的理论框架。我们工作的核心是建立了一套名为“辐边总和公式”的代数体系，并基于此发展了一种将任意复杂平面图系统性地转换为结构简单的单中心轮图的方法。

本文的论证遵循一个清晰的“三步走”逻辑路径：

第一步：统一标准化。 针对任何平面图（无论是否连通、是否包含孔洞），我们引入一个固定的6节点双层“虚拟环”将其包裹。此操作将原图转化为一个具有标准双层环结构的“新图”，其节点数  n新= n原+ 6 。此举的关键在于屏蔽了原图的一切拓扑特殊性，为统一处理奠定基础。

第二步：代数计算与几何等价转换。 我们定义了核心不变量——“辐边总和数”  w ，并证明了其普适计算公式： w = 6(n新- 4) 。此公式是三维代数构造范式下的守恒量。在此基础上，我们将标准化图拆解为一系列“轮构型”模块，通过一种被称为“榫卯接口”的几何拼接操作，将它们重新组装成一个辐边数恰好为  w  的单中心轮图  W 。我们严格证明了这一变换是可逆的，且原图  G  与轮图  W  在四色着色问题上完全等价。

第三步：利用轮图规则完成着色。 转换得到的单中心轮图  W  具有极其简单的着色规则（取决于环长奇偶性）。我们应用此规则对  W  进行四色着色，再通过逆变换将着色方案无冲突地映射回原图  G ，从而原图得以四色着色。

全文结构如下：

· 第1章 阐述研究背景与问题。
· 第2章 详细阐述辐边总和公式体系，包括基础形式、通过虚拟环构建的普适公式，以及原图与新图之间双向转换的构造性步骤。
· 第3章 分析转换所得单中心轮图的最优着色方案。
· 第4章 论证并确保原图与新图在着色功能上的完全等价性。
· 第5章 总结全文。
· 附录 提供了对本研究三维代数构造新范式的方法论阐释、完整的核心公式体系、扩展应用及关键术语定义，是理解本文理论深度与广度的关键补充。

通过这一框架，我们将平面图着色的拓扑分析问题，转化为一个代数计算与确定性几何构造相结合的问题，为四色定理及相关算法研究提供了一条全新的、构造性的路径。

1. 引言
二维平面图的着色问题是图论中的经典难题。四色定理表明，任何平面图均可使用四种颜色进行着色。本文提出了辐边总和公式，通过将任意二维平面图（原图）简化为单中心轮图（新图），实现了着色过程的规范化和简化。新图与原图在结构和功能上的等价性，确保了着色结果的可映射性，为平面图着色提供了系统化的方法。辐边总和数等于新单中心轮图的辐边数，也等于环上节点数与新图环边数。

2. 辐边总和公式与图结构转换
辐边总和公式适用于由外向内两层及以上环加中心区域结构的标准二维平面图，也包括中心区域任意结构的平面图，其中中心区域节点数≥0。计算时，每轮构型的辐边独立计算后相加。
在二维平面图中，除外围节点外，围内每个节点均为轮构型中心，点边可共享，轮构型间部分或全部点边叠加。（即所有二维平面图都是由轮构型模块叠加而成）该公式的目的是将其转换为单中心轮图，以简化着色（单中心轮图仅需4色，与原图结构功能等价）。
辐边总和公式作为纯代数公式，不受二维平面图定义约束，与传统图论中的欧拉公式分属不同体系，其定义如下：
基础公式： w = 6(n - m - 1) + (m - d)
其中， n  为节点总数（  n≥4  ），  m   为外围节点数（  m≥2  ），  d   为第二层环节点数（  d≥2  ），  w为辐边数（  w≥6  ）。系数6源于最小解情况：当   n = 4  ，  m = d = 2   时，  w = 6  ；公式中“减1”是为减去围内一个基准值，且所有顶点度数均≥1。
特殊情形下：
若 m= d ，且 m+d 为≥ 4的偶数。
则 w= 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1)) ；
若 m= d = 3 ，则   w = 6(n - 4)  。

2.2 普适公式与虚拟环构建
针对标准和非标准二维平面图，均可通过添加双层虚拟环（总节点数6，每层含3个节点）覆盖所有平面图类型，简化计算过程。由此得到普适公式：
w = 6(n新- 4)
其中， n原为二维平面图（原始图）的节点个数（  n原≥0  ）；6 为两层虚拟环的节点个数，  n新= n原+ 6  为添加虚拟环后新图的节点总数。双层虚拟环的作用在于包裹原图，有效处理孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构。添加虚拟环后的新图为实际存在的图，原图作为其子结构包含于新图中；去掉双层虚拟环后，原图可继承新图的着色结果，且其色数≤4。
注：普适公式将自动按照标准处理双层虚环的连接边，以及内层环与原图的连接边问题，涵盖包括原图中各构型之间不连通时添加虚拟连接边的情况。无论采用何种连接方式， w  值均保持恒定。

2.3 原图与新图的结构转换
2.3.1 原图分解至新图的转换步骤

1. 将原图拆解，若原图围内有  N  个节点就能拆解出  N  个变形轮构型，并记录其几何形状；
2. 通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将变形轮构型还原为标准轮构型；
3. 选取各标准轮构型环上一节点的一侧与边的连接处断开，经边与辐边伸缩形成扇形，使中心节点呈点片状，扇形两端分别为节点端与边端；
   （注：中心节点为扇柄中扇钉或点片，辐边为扇骨，环边为扇纸）。
4. 将所有扇形拼接为单中心轮图：扇形一侧节点端与另一扇形一侧边端连接，所有扇形扇柄以点片叠加。

2.3.2 新图还原至原图的转换步骤

1. 从新图环上标记节点分解出  n  个扇形；
2. 将各扇形两端连接，还原为标准轮构型；
3. 按原图变形状态通过部分或全部点边叠加，恢复原图结构，确保新图与原图结构等价。

3. 新单中心轮图的最优着色问题
新单中心轮图的着色规则由环上节点数 n   的奇偶性决定：
当 n = 2m + 1  （奇环）时：环上节点用2种颜色交替着色m次，剩余1个节点用第3种颜色，中心节点用第4种颜色，总颜色数为 4；
当 n = 2m  （偶环）时：环上节点用2种颜色交替着色m次，中心节点用第3种颜色，总颜色数为 3。
关键约束：若原图中存在任一奇轮构型模块，则新图即使为偶环也必须采用4色方案，此为保证着色结果能无冲突映射回原图的核心条件。

4. 原图与新图的功能等价性
4.1 原图到新图的功能保持
原图拆解为 n   个轮构型后，若各中心节点颜色存在差异，选取占比最多的颜色作为新图中心颜色，其余轮构型通过环上对应节点颜色与中心节点颜色互换，使所有中心节点颜色统一，确保新图与原图功能等价。
4.2 新图到原图的颜色一致性映射
新图分解为 n   个轮构型时，若中心节点颜色与原图中心颜色冲突，通过新图中心节点颜色与环上对应节点颜色互换，使新图中心节点颜色与原图一致，维持二者功能等价性。
4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制
在原图与新图的双向转换中，当新颜色与其他节点颜色无冲突时，可跳过复杂的颜色互换步骤，直接进行中心颜色替换，简化着色流程。

5. 结论
本文提出的辐边总和公式借助虚拟环包裹与轮构型转换，把二维平面图简化为单中心轮图，利用轮图着色特性实现四色以内的着色方案。原图与新图的双向转换及功能等价性保证了着色结果的有效性，为平面图着色问题提供了可操作的理论框架。

---

附录：方法论阐释、核心公式体系与术语定义

一、方法论定位：三维代数构造新范式概述
二维平面图四色定理的传统证明依赖于二维拓扑分析框架，通过枚举1476个不可避免构形并验证其可约性完成，存在“依赖计算机验证、缺乏构造性着色方案”的固有局限。本文提出一种三维代数构造新范式，突破传统二维拓扑的认知边界：将任意平面图视为三维构造空间中的可变形模块集合，以辐边总和公式为核心不变量，通过“轮构型分解-榫卯拼接-二维投影”的确定性流程，将原图等价转换为单中心轮图；利用轮图的成熟着色规则完成四色着色，再通过逆映射操作实现原图的无冲突着色。研究表明，辐边总和普适公式 w = 6(n新- 4)   是三维构造过程的守恒量，可对所有平面图（包括连通/非连通、含孔洞/无孔洞类型，以及传统1476个构形集）实现“打包式”统一处理，无需区分个体拓扑特征。相较于依赖欧拉公式的二维拓扑方法，本方法将证明复杂度从指数级降至多项式级  O(n) ，不仅提供了四色定理的构造性证明路径，更建立了“代数构造-拓扑等价-着色映射”的全新图论分析框架，为平面图着色问题的研究提供了颠覆性的方法论。

二、核心公式体系
辐边总和公式体系是一套独立于传统图论（如欧拉公式）的纯代数计算体系。它旨在通过确定的计算与变换，将平面图着色问题转化为规范形式，其构建与应用不受二维平面图标准定义的约束。

1. 基础公式（结构量化）：
    w = 6(n - m - 1) + (m - d)
   适用于标准二维平面图（由外向内至少两层环加中心区域结构），直接量化其固有拓扑连接（辐边总和数）。
2. 普适公式（统一计算）：
    w = 6(n新- 4)
   此公式由基础公式推导而来：对任意平面图，通过添加一个固定的双层虚拟环（参数为  m=3 ，  d=3 ，总节点数n新= n原+ 6 ）将其标准化，代入基础公式即得此统一形式。它屏蔽了原图的拓扑差异，是后续计算的统一基础。
3. 重构公式（等价生成）：
    ⊙= 1 + w
   由计算所得的辐边总和数  w ，直接确定最终等价的单中心标准轮图的规模⊙。其中  1   代表由原图所有围内节点（所有轮构型模块的中心节点）通过几何叠加生成的唯一中心等效体；  w   为该轮图环上的节点数（即辐边数）。

三、辐边总和公式的扩展应用（针对特定结构）
注：以下为针对未使用虚拟环标准化的特定结构给出的扩展公式，普适公式 w = 6(n新- 4)   已统一覆盖所有情况。

1. 非标准二维平面图（含孔洞）
   定义：两层及以上环加中心结构，且孔洞为边数≥4的多边形。
   修正项  z  ：
   外围孔洞：  z外= N外- 3v外（  N外为边数和，  v外为孔洞个数）
   围内孔洞：  z内= 2(N内- 3v内)  （  N内为边数和，v内为孔洞个数）
   修正公式：  w = 6(n - m - 1) + (m - d) - [ z外+ z内]
2. 单层外围环加中心区域结构（含孔洞）
   理论基准：以三边形为模，理论连接边数  e理论= 2d - 3  （  d  为围内节点数）。
   修正项  z  ：比较实际连接边数  a  与  e理论，
   若  e理论 < a ，则  +z ；若  e理论> a ，则  -z ；若  e理论 = a ，则  z=0 。
   综合公式：  w = 6(n - m - 1) + (m - d) ±z - [ z外 + z内 ]
3. 单层或多层外环加中心区结构（含孔洞）的简化公式
   简化公式：  w = n + 3d - 4 ±z - [ z外+ z内]  （  d  为围内节点数）
   修正基准：以树型为模，理论连接边数  e理论= d - 1  （  d  为围内节点数）。
   修正项  z  ：比较实际连接边数  a  与  e理论 ，规则同上。
   重要提示：本公式体系仅适用于平面图，对于非平面图（如k5,K3.3等）不适用。

四、辅助计算公式
设 n   为节点数，  m   为外围节点数。

· 三边形个数：  a = (n - 2) + (n - m)
· 边的个数：  e = 2n + (n - m - 3)

五、核心操作单元：“卯榫”接口
在轮构型模块分解为扇形单元的过程中，于环边某点断开后形成的边界，构成两种互补的标准化接口：

· 节点端（凹，卯眼）： 对应原图中节点与其连接边的几何位置。为“凹入”的接收端。
· 边端（凸，榫头）： 对应原图中边与其端点的几何位置。为“凸出”的插入端。
  拼接原理：将一单元的边端（榫头）插入相邻单元的节点端（卯眼），可实现所有单元的环向无缝连接与中心叠加。

六、辐边总和公式体系的核心框架：
代数定义域为n≥4、m≥2、d≥2，最小生成元(n=4, m=2, d=2)是拓扑退化的代数基石（导出系数“6”）；标准拓扑模型以d≥3形成真环为典型特征，参数对(m=3, d=3)作为核心桥梁，衔接基础公式与普适公式w=6(n-4)；整个体系从代数起点经拓扑澄清到普适应用，层次严谨、逻辑自洽。

七、边界情形验证——单层环两节点结构
辐边总和公式体系对单层环两节点轮构型（n=3、m=2、d=1，含2条辐边与2条环重边的三角剖分图）的边界包容性：三角形面个数公式a=(n-2)+(n-m)、总边数公式e=2n+(n-m-3)分别计算得2和4，与实际完全一致；轮构型模块数（基础公式得1）与辐边数（简化公式得2）适配该结构特征，通过6节点双层虚拟环标准化转化后，普适公式w=6(n新-4)得30，实现边界情形与标准结构的统一处理。该验证彰显了公式体系的鲁棒性与三维代数嵌入范式的普适性，为四色定理构造性证明奠定模块基础。

朱明君

附录六：辐边总和公式的参数体系、理论起点与拓扑模型

本附录旨在系统阐述辐边总和公式体系中各参数的数学定义、理论的几何起源、不同应用场景下的拓扑模型以及其间的内在联系，从而明确理论框架的适用范围、自洽性及严谨的逻辑层次。

1. 参数的代数定义域

核心基础公式及其导出的整个公式体系，首先是一个纯代数构造。其在数学上有效的最宽参数条件为：

· 节点总数： n \geq 4
· 外围节点数： m \geq 2
· 围内节点数： d \geq 2
  此代数定义域 是公式进行算术运算与形式推导的基本前提，它定义了理论可形式化操作的最大范围。

2. 理论起点：最小生成元

代数定义域的下边界  (n=4, m=2, d=2)  对应本理论的 最小生成元。该结构由外围两节点与围内两节点组成。

· 拓扑本质：由于一个环在拓扑上至少需要3个节点，因此当围内节点数  d=2  时，无法形成一个真正围住中心区域的环。该结构在拓扑上退化为一种简单的连接关系，可视作理论框架的退化基态。
· 代数基石：尽管拓扑结构退化，但代入基础公式仍得到确定的辐边总和数  w = 6 。公式中的核心系数“6”及“辐边总和与内部规模呈6倍关系”这一基本代数规律，皆源于对此最小、最简结构的分析。 它构成了整个公式体系形式化推导的逻辑起点。

3. 标准拓扑模型

在面向典型的二维平面图着色问题时，我们通常关注具有清晰分层与中心区域的结构。在此 标准拓扑模型 下，对结构有更具体的要求：

· 外围环：节点数需满足  m \geq 2 ，以定义一个内外边界，且其围内必须包含至少两个节点（d ≥ 2）。
· 内部环：若要求内部形成一个真正的“环”以明确围住一个中心区域，则作为内部环主体的第二层环，其节点数必须满足更强的条件  d \geq 3 。这正是最小生成元（d=2，无真环）与标准模型（d≥3，有真环）的根本区别。
  正文中主要讨论的“标准二维平面图”指向此类满足 m \geq 2 、 d \geq 2  且通常要求  d \geq 3  以形成真环的结构。

4. 核心桥梁：普适化的构造参数

在标准拓扑模型中，参数对  (m, d) = (3, 3)  具有特殊的 构造性意义。

· 结构对应：它精确对应为统一处理任意平面图而设计的 固定双层虚拟环 的结构（每层均为三节点真环）。
· 理论桥梁：将此参数代入基础公式，立即得到 普适公式  w = 6(n-4) 。因此， (3, 3)  成为连接 针对特定结构的“基础公式” 与 覆盖任意图的“普适公式” 的关键转换节点，实现了从特殊到一般的无缝过渡。

总结

辐边总和公式体系构建了一个清晰的多层次理解框架：

1. 在  (m, d) \geq (2, 2)  的宽代数域上，公式保持统一数学形式，且要求d≥2。
2.  (2, 2)  是理论的生成元起点（拓扑退化的基态），提供了公式的代数基石。
3. 标准拓扑模型 在 d≥2 的基础上，为获得具有真环的典型结构，通常强调  d \geq 3  的条件。
4.  (3, 3)  是普适化的核心桥梁，通过一个具体的真环构造将理论推广至一般情形。

这一分层体系从代数起点出发，经过拓扑澄清，最终到达普适应用，确保了理论全程的严谨性与完备性。

---

朱明君

附录六：辐边总和公式的参数体系、理论起点与拓扑模型

本附录旨在系统阐述辐边总和公式体系中各参数的数学定义、理论的几何起源、不同应用场景下的拓扑模型以及其间的内在联系，从而明确理论框架的适用范围、自洽性及严谨的逻辑层次。

1. 参数的代数定义域

核心基础公式及其导出的整个公式体系，首先是一个纯代数构造。其在数学上有效的最宽参数条件为：

· 节点总数： n \geq 4
· 外围节点数： m \geq 2
· 围内节点数： d \geq 2
  此代数定义域 是公式进行算术运算与形式推导的基本前提，它定义了理论可形式化操作的最大范围。

2. 理论起点：最小生成元

代数定义域的下边界  (n=4, m=2, d=2)  对应本理论的 最小生成元。该结构由外围两节点与围内两节点组成。

· 拓扑本质：由于一个环在拓扑上至少需要3个节点，因此当围内节点数  d=2  时，无法形成一个真正围住中心区域的环。该结构在拓扑上退化为一种简单的连接关系，可视作理论框架的退化基态。
· 代数基石：尽管拓扑结构退化，但代入基础公式仍得到确定的辐边总和数  w = 6 。公式中的核心系数“6”及“辐边总和与内部规模呈6倍关系”这一基本代数规律，皆源于对此最小、最简结构的分析。 它构成了整个公式体系形式化推导的逻辑起点。

3. 标准拓扑模型

在面向典型的二维平面图着色问题时，我们通常关注具有清晰分层与中心区域的结构。在此 标准拓扑模型 下，对结构有更具体的要求：

· 外围环：节点数需满足  m \geq 2 ，以定义一个内外边界，且其围内必须包含至少两个节点（d ≥ 2）。
· 内部环：若要求内部形成一个真正的“环”以明确围住一个中心区域，则作为内部环主体的第二层环，其节点数必须满足更强的条件  d \geq 3 。这正是最小生成元（d=2，无真环）与标准模型（d≥3，有真环）的根本区别。
  正文中主要讨论的“标准二维平面图”指向此类满足 m \geq 2 、 d \geq 2  且通常要求  d \geq 3  以形成真环的结构。

4. 核心桥梁：普适化的构造参数

在标准拓扑模型中，参数对  (m, d) = (3, 3)  具有特殊的 构造性意义。

· 结构对应：它精确对应为统一处理任意平面图而设计的 固定双层虚拟环 的结构（每层均为三节点真环）。
· 理论桥梁：将此参数代入基础公式，立即得到 普适公式  w = 6(n-4) 。因此， (3, 3)  成为连接 针对特定结构的“基础公式” 与 覆盖任意图的“普适公式” 的关键转换节点，实现了从特殊到一般的无缝过渡。

总结

辐边总和公式体系构建了一个清晰的多层次理解框架：

1. 在  (m, d) \geq (2, 2)  的宽代数域上，公式保持统一数学形式，且要求d≥2。
2.  (2, 2)  是理论的生成元起点（拓扑退化的基态），提供了公式的代数基石。
3. 标准拓扑模型 在 d≥2 的基础上，为获得具有真环的典型结构，通常强调  d \geq 3  的条件。
4.  (3, 3)  是普适化的核心桥梁，通过一个具体的真环构造将理论推广至一般情形。

这一分层体系从代数起点出发，经过拓扑澄清，最终到达普适应用，确保了理论全程的严谨性与完备性。

---

朱明君

附录A：边界情形验证——单层环两节点结构

本附录旨在验证辐边总和公式体系对边界情形的包容性。考虑一类特殊但合法的标准二维平面图：单层环两节点轮构型（外围环含2个节点且允许重边）。传统轮图定义要求环上节点数 m \geq 3 ，本公式体系通过概念拓展与虚拟环标准化技术，实现对此类边界情形的自然覆盖。

A.1 结构定义

设平面图 G 为允许重边的平面图，且满足以下构造特征（如图A1所示）：

- 节点集合：总节点数 n = 3 ，含中心节点 c 与外围环节点 v_1, v_2 ；
- 环结构：外围环为2-环（重边构造），由 v_1, v_2 及两条连接边组成，外围节点数 m = 2 ；
- 中心区域：仅含中心节点 c ，第二层环节点数 d = 1 ；
- 边集：总边数 e = 4 ，含2条辐边（ c-v_1, c-v_2 ）与2条环边（ v_1-v_2 重边）；
- 面集：平面嵌入后形成2个内部三角形面（各由1条环边与2条辐边围成）与1个外部无限面，所有有限面均为三角形，满足三角剖分条件。

注：该图为多重图（允许重边），在重边意义下每个有限面均为三角形，因此可视为一类特殊的三角剖分图。

A.2 公式验证

A.2.1 三角形面个数

公式（适用于单层环无孔洞三角剖分平面图）：
a = (n-2) + (n-m)
计算过程：
a = (3-2) + (3-2) = 1 + 1 = 2
验证结果：与实际2个三角形面完全一致，公式在三角剖分场景下有效。

A.2.2 总边数

公式（适用于单层环无孔洞三角剖分平面图）：
e = 2n + (n-m-3)
计算过程：
e = 2 \times 3 + (3-2-3) = 6 - 2 = 4
验证结果：与实际4条边完全一致，公式适配三角剖分边界情形。

A.2.3 轮构型模块与辐边数

1.&#160;基础公式（通用模块计数）
公式：
w = 6(n-m-1) + (m-d)
计算过程：
w = 6(3-2-1) + (2-1) = 0 + 1 = 1
物理含义：结果为1表示该结构是1个完整的轮构型基础模块（不可再分解）。
2.&#160;简化公式（辐边数计算）
针对“单层环+中心区域”无孔洞三角剖分图，附录三简化公式：
w = n + 3d - 4
计算过程：
w = 3 + 3 \times 1 - 4 = 2
验证结果：与实际2条辐边完全一致，公式适配三角剖分边界情形。

A.3 虚拟环标准化统一处理

为解决基础公式在 d=1 时的含义差异，通过6节点双层虚拟环（每层3节点，符合标准轮图环结构）进行标准化转化，转化后新图仍为三角剖分图：

- 标准化后总节点数：
n_{\text{新}} = n_{\text{原}} + 6 = 3 + 6 = 9
- 标准化后参数：外围节点数 m_{\text{新}} = 3 ，第二层环节点数 d_{\text{新}} = 3 ；
- 普适公式应用：
w_{\text{新}} = 6(n_{\text{新}} - 4) = 6 \times (9 - 4) = 30

物理含义： w_{\text{新}} = 30 为标准化后新图的辐边总和，经轮构型分解与榫卯拼接后，可生成含30条辐边的标准单中心三角剖分轮图，实现边界情形与标准三角剖分结构的统一处理。

A.4 几何解释与理论价值

A.4.1 三维代数嵌入视角

1.&#160;2-环的可展性：重边构成的2-环在三维空间中等价于可展带状曲面，内含2个三角形面片，满足三角剖分的面结构要求；
2.&#160;辐边的支撑稳定性：两条辐边与2-环形成空间三角支撑结构，符合三角剖分的几何稳定性特征；
3.&#160;模块原子性：该结构是轮构型三角剖分图分解的最小单元（原子模块），为复杂三角剖分图的模块化构造提供基础。

A.4.2 公式体系的核心优势

1.&#160;概念拓展性：将轮构型三角剖分图定义从 m \geq 3 拓展至 m \geq 2 ，覆盖更广泛的三角剖分类别；
2.&#160;公式协同性：基础公式、简化公式与普适公式形成层级适配，确保三角剖分图不同情形下的一致性计算；
3.&#160;构造完备性：虚拟环标准化技术实现任意三角剖分图（含边界情形）的统一格式转化，为构造性着色流程提供完备输入。

A.5 结论

单层环两节点三角剖分结构的验证表明，辐边总和公式体系在标准二维三角剖分平面图中具备良好的边界包容性与鲁棒性。该体系既适用于标准三角剖分图，也能自然覆盖特殊三角剖分结构，为四色定理的构造性证明奠定了完备的模块基础；虚拟环标准化技术进一步彰显了三维代数嵌入范式的普适性，为复杂三角剖分图的统一处理提供了有效路径。

&#160;

图A1：单层环两节点结构示意图

plaintext
  
         c
         ●
        / \
       /   \
   v1 ●=====● v2
     上弧||下弧
&#160;

图注：中心节点 c 与 v_1, v_2 各连1条辐边； v_1 与 v_2 间的两条重边（上弧、下弧）构成2-环，形成两个三角形面： \triangle c v_1 v_2 （上表面）与 \triangle c v_1 v_2 （下表面），符合三角剖分定义。

&#160;

如需进一步验证非三角剖分二维平面图中公式的适配性，或补充三角剖分图与非三角剖分图的公式修正系数推导，可在后续工作中另行讨论。

朱明君

本附录验证了辐边总和公式体系对单层环两节点轮构型（n=3、m=2、d=1，含2条辐边与2条环重边的三角剖分图）的边界包容性：三角形面个数公式a=(n-2)+(n-m)、总边数公式e=2n+(n-m-3)分别计算得2和4，与实际完全一致；轮构型模块数（基础公式得1）与辐边数（简化公式得2）适配该结构特征，通过6节点双层虚拟环标准化转化后，普适公式w_{\text{新}}=6(n_{\text{新}}-4)得30，实现边界情形与标准结构的统一处理。该验证彰显了公式体系的鲁棒性与三维代数嵌入范式的普适性，为四色定理构造性证明奠定模块基础。

朱明君

附录六：辐边总和公式的参数体系、理论起点与拓扑模型
本附录明确辐边总和公式体系的核心框架：代数定义域为n≥4、m≥2、d≥2，最小生成元(n=4, m=2, d=2)是拓扑退化的代数基石（导出系数“6”）；标准拓扑模型以d≥3形成真环为典型特征，参数对(m=3, d=3)作为核心桥梁，衔接基础公式与普适公式w=6(n-4)；整个体系从代数起点经拓扑澄清到普适应用，层次严谨、逻辑自洽。

朱明君

·  n ：总节点总数（含虚拟节点）， n \geq 4
·  m ：外围节点数， m \geq 2
·  d ：由外向内第二层环节点数， d \geq 2
·  w ：辐边总和
·  a ：三边形（三角形）个数
·  e ：边的个数

2.2 公式体系（原始形式）

1. 辐边总和公式
   w = 6(n-m-1) + (m-d)
   \]  
2. 三角形个数公式（两种形式）
   a = (n-2) + (n-m)
   \]  
   a = w - [\,3(n-m+2) + 2\,]
   \]  
3. 边数公式（两种形式）
   e = 2n + (n-m-3)
   \]  
   e = \frac{w + 3m + d}{2}
   \]  

朱明君

附录六：辐边总和公式的参数体系、理论起点与拓扑模型

本附录旨在系统阐述辐边总和公式体系中各参数的数学定义、理论的几何起源、不同应用场景下的拓扑模型以及其间的内在联系，从而明确理论框架的适用范围、自洽性及严谨的逻辑层次。

1. 参数的代数定义域

核心基础公式及其导出的整个公式体系，首先是一个纯代数构造。其在数学上有效的最宽参数条件为：

· 节点总数： n \geq 4
· 外围节点数： m \geq 2
· 围内节点数： d \geq 2
  此代数定义域 是公式进行算术运算与形式推导的基本前提，它定义了理论可形式化操作的最大范围。

2. 理论起点：最小生成元

代数定义域的下边界  (n=4, m=2, d=2)  对应本理论的 最小生成元。该结构由外围两节点与围内两节点组成。

· 拓扑本质：由于一个环在拓扑上至少需要3个节点，因此当围内节点数  d=2  时，无法形成一个真正围住中心区域的环。该结构在拓扑上退化为一种简单的连接关系，可视作理论框架的退化基态。
· 代数基石：尽管拓扑结构退化，但代入基础公式仍得到确定的辐边总和数  w = 6 。公式中的核心系数“6”及“辐边总和与内部规模呈6倍关系”这一基本代数规律，皆源于对此最小、最简结构的分析。 它构成了整个公式体系形式化推导的逻辑起点。

3. 标准拓扑模型

在面向典型的二维平面图着色问题时，我们通常关注具有清晰分层与中心区域的结构。在此 标准拓扑模型 下，对结构有更具体的要求：

· 外围环：节点数需满足  m \geq 2 ，以定义一个内外边界，且其围内必须包含至少两个节点（d ≥ 2）。
· 内部环：若要求内部形成一个真正的“环”以明确围住一个中心区域，则作为内部环主体的第二层环，其节点数必须满足更强的条件  d \geq 3 。这正是最小生成元（d=2，无真环）与标准模型（d≥3，有真环）的根本区别。
  正文中主要讨论的“标准二维平面图”指向此类满足 m \geq 2 、 d \geq 2  且通常要求  d \geq 3  以形成真环的结构。

4. 核心桥梁：普适化的构造参数

在标准拓扑模型中，参数对  (m, d) = (3, 3)  具有特殊的 构造性意义。

· 结构对应：它精确对应为统一处理任意平面图而设计的 固定双层虚拟环 的结构（每层均为三节点真环）。
· 理论桥梁：将此参数代入基础公式，立即得到 普适公式  w = 6(n-4) 。因此， (3, 3)  成为连接 针对特定结构的“基础公式” 与 覆盖任意图的“普适公式” 的关键转换节点，实现了从特殊到一般的无缝过渡。

总结

辐边总和公式体系构建了一个清晰的多层次理解框架：

1. 在  (m, d) \geq (2, 2)  的宽代数域上，公式保持统一数学形式，且要求d≥2。
2.  (2, 2)  是理论的生成元起点（拓扑退化的基态），提供了公式的代数基石。
3. 标准拓扑模型 在 d≥2 的基础上，为获得具有真环的典型结构，通常强调  d \geq 3  的条件。
4.  (3, 3)  是普适化的核心桥梁，通过一个具体的真环构造将理论推广至一般情形。

这一分层体系从代数起点出发，经过拓扑澄清，最终到达普适应用，确保了理论全程的严谨性与完备性。

---

朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

作者：朱火华
日期：2025年11月25日

摘要：本文提出了一种将任意平面图系统性地转换为单中心轮图的数学理论框架。首先，通过引入一个固定的6顶点双层虚拟环对原图进行包裹，实现虚拟环标准化，得到顶点数为  n新= n原+ 6  的标准化图。基于此，定义了核心不变量——辐边总和数  w ，并证明了其普适计算公式  w = 6(n新- 4) 。其次，通过轮构型分解与具有“榫卯接口”的几何拼接操作，将标准化图等价转换为一个辐边数（环上节点数）为  w  的单中心轮图  W 。该变换被证明是可逆且着色等价的，即原图  G  与轮图  W  在四色着色问题上完全等价。最后，由重构公式  ⊙= 1 + w  确定轮图规模，并利用轮图的简明着色规则完成着色。本框架提供了一种统一处理平面图（包括各种复杂结构及传统不可避免构形集）的构造性方法，为四色着色问题及相关算法研究提供了新的理论基础。

关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理

开言（论文导读）

本文致力于为二维平面图的四色着色问题提供一个统一、构造性的理论框架。我们工作的核心是建立了一套名为“辐边总和公式”的代数体系，并基于此发展了一种将任意复杂平面图系统性地转换为结构简单的单中心轮图的方法。

本文的论证遵循一个清晰的“三步走”逻辑路径：

第一步：统一标准化。 针对任何平面图（无论是否连通、是否包含孔洞），我们引入一个固定的6节点双层“虚拟环”将其包裹。此操作将原图转化为一个具有标准双层环结构的“新图”，其节点数  n新= n原+ 6 。此举的关键在于屏蔽了原图的一切拓扑特殊性，为统一处理奠定基础。

第二步：代数计算与几何等价转换。 我们定义了核心不变量——“辐边总和数”  w ，并证明了其普适计算公式： w = 6(n新- 4) 。此公式是三维代数构造范式下的守恒量。在此基础上，我们将标准化图拆解为一系列“轮构型”模块，通过一种被称为“榫卯接口”的几何拼接操作，将它们重新组装成一个辐边数恰好为  w  的单中心轮图  W 。我们严格证明了这一变换是可逆的，且原图  G  与轮图  W  在四色着色问题上完全等价。

第三步：利用轮图规则完成着色。 转换得到的单中心轮图  W  具有极其简单的着色规则（取决于环长奇偶性）。我们应用此规则对  W  进行四色着色，再通过逆变换将着色方案无冲突地映射回原图  G ，从而原图得以四色着色。

全文结构如下：

· 第1章 阐述研究背景与问题。
· 第2章 详细阐述辐边总和公式体系，包括基础形式、通过虚拟环构建的普适公式，以及原图与新图之间双向转换的构造性步骤。
· 第3章 分析转换所得单中心轮图的最优着色方案。
· 第4章 论证并确保原图与新图在着色功能上的完全等价性。
· 第5章 总结全文。
· 附录 提供了对本研究三维代数构造新范式的方法论阐释、完整的核心公式体系、扩展应用及关键术语定义，是理解本文理论深度与广度的关键补充。

通过这一框架，我们将平面图着色的拓扑分析问题，转化为一个代数计算与确定性几何构造相结合的问题，为四色定理及相关算法研究提供了一条全新的、构造性的路径。

1. 引言
二维平面图的着色问题是图论中的经典难题。四色定理表明，任何平面图均可使用四种颜色进行着色。本文提出了辐边总和公式，通过将任意二维平面图（原图）简化为单中心轮图（新图），实现了着色过程的规范化和简化。新图与原图在结构和功能上的等价性，确保了着色结果的可映射性，为平面图着色提供了系统化的方法。辐边总和数等于新单中心轮图的辐边数，也等于环上节点数与新图环边数。

2. 辐边总和公式与图结构转换
辐边总和公式适用于由外向内两层及以上环加中心区域结构的标准二维平面图，也包括中心区域任意结构的平面图，其中中心区域节点数≥0。计算时，每轮构型的辐边独立计算后相加。
在二维平面图中，除外围节点外，围内每个节点均为轮构型中心，点边可共享，轮构型间部分或全部点边叠加。（即所有二维平面图都是由轮构型模块叠加而成）该公式的目的是将其转换为单中心轮图，以简化着色（单中心轮图仅需4色，与原图结构功能等价）。
辐边总和公式作为纯代数公式，不受二维平面图定义约束，与传统图论中的欧拉公式分属不同体系，其定义如下：
基础公式： w = 6(n - m - 1) + (m - d)
其中， n  为节点总数（  n≥4  ），  m   为外围节点数（  m≥2  ），  d   为第二层环节点数（  d≥2  ），  w为辐边数（  w≥6  ）。系数6源于最小解情况：当   n = 4  ，  m = d = 2   时，  w = 6  ；公式中“减1”是为减去围内一个基准值，且所有顶点度数均≥1。
特殊情形下：
若 m= d ，且 m+d 为≥ 4的偶数。
则 w= 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1)) ；
若 m= d = 3 ，则   w = 6(n - 4)  。

2.2 普适公式与虚拟环构建
针对标准和非标准二维平面图，均可通过添加双层虚拟环（总节点数6，每层含3个节点）覆盖所有平面图类型，简化计算过程。由此得到普适公式：
w = 6(n新- 4)
其中， n原为二维平面图（原始图）的节点个数（  n原≥0  ）；6 为两层虚拟环的节点个数，  n新= n原+ 6  为添加虚拟环后新图的节点总数。双层虚拟环的作用在于包裹原图，有效处理孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构。添加虚拟环后的新图为实际存在的图，原图作为其子结构包含于新图中；去掉双层虚拟环后，原图可继承新图的着色结果，且其色数≤4。
注：普适公式将自动按照标准处理双层虚环的连接边，以及内层环与原图的连接边问题，涵盖包括原图中各构型之间不连通时添加虚拟连接边的情况。无论采用何种连接方式， w  值均保持恒定。

2.3 原图与新图的结构转换
2.3.1 原图分解至新图的转换步骤

1. 将原图拆解，若原图围内有  N  个节点就能拆解出  N  个变形轮构型，并记录其几何形状；
2. 通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将变形轮构型还原为标准轮构型；
3. 选取各标准轮构型环上一节点的一侧与边的连接处断开，经边与辐边伸缩形成扇形，使中心节点呈点片状，扇形两端分别为节点端与边端；
   （注：中心节点为扇柄中扇钉或点片，辐边为扇骨，环边为扇纸）。
4. 将所有扇形拼接为单中心轮图：扇形一侧节点端与另一扇形一侧边端连接，所有扇形扇柄以点片叠加。

2.3.2 新图还原至原图的转换步骤

1. 从新图环上标记节点分解出  n  个扇形；
2. 将各扇形两端连接，还原为标准轮构型；
3. 按原图变形状态通过部分或全部点边叠加，恢复原图结构，确保新图与原图结构等价。

3. 新单中心轮图的最优着色问题
新单中心轮图的着色规则由环上节点数 n   的奇偶性决定：
当 n = 2m + 1  （奇环）时：环上节点用2种颜色交替着色m次，剩余1个节点用第3种颜色，中心节点用第4种颜色，总颜色数为 4；
当 n = 2m  （偶环）时：环上节点用2种颜色交替着色m次，中心节点用第3种颜色，总颜色数为 3。
关键约束：若原图中存在任一奇轮构型模块，则新图即使为偶环也必须采用4色方案，此为保证着色结果能无冲突映射回原图的核心条件。

4. 原图与新图的功能等价性
4.1 原图到新图的功能保持
原图拆解为 n   个轮构型后，若各中心节点颜色存在差异，选取占比最多的颜色作为新图中心颜色，其余轮构型通过环上对应节点颜色与中心节点颜色互换，使所有中心节点颜色统一，确保新图与原图功能等价。
4.2 新图到原图的颜色一致性映射
新图分解为 n   个轮构型时，若中心节点颜色与原图中心颜色冲突，通过新图中心节点颜色与环上对应节点颜色互换，使新图中心节点颜色与原图一致，维持二者功能等价性。
4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制
在原图与新图的双向转换中，当新颜色与其他节点颜色无冲突时，可跳过复杂的颜色互换步骤，直接进行中心颜色替换，简化着色流程。

5. 结论
本文提出的辐边总和公式借助虚拟环包裹与轮构型转换，把二维平面图简化为单中心轮图，利用轮图着色特性实现四色以内的着色方案。原图与新图的双向转换及功能等价性保证了着色结果的有效性，为平面图着色问题提供了可操作的理论框架。

---

附录：方法论阐释、核心公式体系与术语定义

一、方法论定位：三维代数构造新范式概述
二维平面图四色定理的传统证明依赖于二维拓扑分析框架，通过枚举1476个不可避免构形并验证其可约性完成，存在“依赖计算机验证、缺乏构造性着色方案”的固有局限。本文提出一种三维代数构造新范式，突破传统二维拓扑的认知边界：将任意平面图视为三维构造空间中的可变形模块集合，以辐边总和公式为核心不变量，通过“轮构型分解-榫卯拼接-二维投影”的确定性流程，将原图等价转换为单中心轮图；利用轮图的成熟着色规则完成四色着色，再通过逆映射操作实现原图的无冲突着色。研究表明，辐边总和普适公式 w = 6(n新- 4)   是三维构造过程的守恒量，可对所有平面图（包括连通/非连通、含孔洞/无孔洞类型，以及传统1476个构形集）实现“打包式”统一处理，无需区分个体拓扑特征。相较于依赖欧拉公式的二维拓扑方法，本方法将证明复杂度从指数级降至多项式级  O(n) ，不仅提供了四色定理的构造性证明路径，更建立了“代数构造-拓扑等价-着色映射”的全新图论分析框架，为平面图着色问题的研究提供了颠覆性的方法论。

二、核心公式体系
辐边总和公式体系是一套独立于传统图论（如欧拉公式）的纯代数计算体系。它旨在通过确定的计算与变换，将平面图着色问题转化为规范形式，其构建与应用不受二维平面图标准定义的约束。

1. 基础公式（结构量化）：
    w = 6(n - m - 1) + (m - d)
   适用于标准二维平面图（由外向内至少两层环加中心区域结构），直接量化其固有拓扑连接（辐边总和数）。
2. 普适公式（统一计算）：
    w = 6(n新- 4)
   此公式由基础公式推导而来：对任意平面图，通过添加一个固定的双层虚拟环（参数为  m=3 ，  d=3 ，总节点数n新= n原+ 6 ）将其标准化，代入基础公式即得此统一形式。它屏蔽了原图的拓扑差异，是后续计算的统一基础。
3. 重构公式（等价生成）：
    ⊙= 1 + w
   由计算所得的辐边总和数  w ，直接确定最终等价的单中心标准轮图的规模⊙。其中  1   代表由原图所有围内节点（所有轮构型模块的中心节点）通过几何叠加生成的唯一中心等效体；  w   为该轮图环上的节点数（即辐边数）。

三、辐边总和公式的扩展应用（针对特定结构）
注：以下为针对未使用虚拟环标准化的特定结构给出的扩展公式，普适公式 w = 6(n新- 4)   已统一覆盖所有情况。

1. 非标准二维平面图（含孔洞）
   定义：两层及以上环加中心结构，且孔洞为边数≥4的多边形。
   修正项  z  ：
   外围孔洞：  z外= N外- 3v外（  N外为边数和，  v外为孔洞个数）
   围内孔洞：  z内= 2(N内- 3v内)  （  N内为边数和，v内为孔洞个数）
   修正公式：  w = 6(n - m - 1) + (m - d) - [ z外+ z内]
2. 单层外围环加中心区域结构（含孔洞）
   理论基准：以三边形为模，理论连接边数  e理论= 2d - 3  （  d  为围内节点数）。
   修正项  z  ：比较实际连接边数  a  与  e理论，
   若  e理论 < a ，则  +z ；若  e理论> a ，则  -z ；若  e理论 = a ，则  z=0 。
   综合公式：  w = 6(n - m - 1) + (m - d) ±z - [ z外 + z内 ]
3. 单层或多层外环加中心区结构（含孔洞）的简化公式
   简化公式：  w = n + 3d - 4 ±z - [ z外+ z内]  （  d  为围内节点数）
   修正基准：以树型为模，理论连接边数  e理论= d - 1  （  d  为围内节点数）。
   修正项  z  ：比较实际连接边数  a  与  e理论 ，规则同上。
   重要提示：本公式体系仅适用于平面图，对于非平面图（如k5,K3.3等）不适用。

四、辅助计算公式
设n为节点数，m为外围节点数，w为辐边数

三边形个数：  a = (n - 2) + (n - m)
                         a=w-[3（n-m+2）+2]
边的个数：  e = 2n + (n - m - 3)
                     e=（w+3m+d）/2

五、核心操作单元：“卯榫”接口
在轮构型模块分解为扇形单元的过程中，于环边某点断开后形成的边界，构成两种互补的标准化接口：

· 节点端（凹，卯眼）： 对应原图中节点与其连接边的几何位置。为“凹入”的接收端。
· 边端（凸，榫头）： 对应原图中边与其端点的几何位置。为“凸出”的插入端。
  拼接原理：将一单元的边端（榫头）插入相邻单元的节点端（卯眼），可实现所有单元的环向无缝连接与中心叠加。

六、辐边总和公式体系的核心框架：
代数定义域为n≥4、m≥2、d≥2，最小生成元(n=4, m=2, d=2)是拓扑退化的代数基石（导出系数“6”）；标准拓扑模型以d≥3形成真环为典型特征，参数对(m=3, d=3)作为核心桥梁，衔接基础公式与普适公式w=6(n-4)；整个体系从代数起点经拓扑澄清到普适应用，层次严谨、逻辑自洽。

七、边界情形验证——单层环两节点结构
辐边总和公式体系对单层环两节点轮构型（n=3、m=2、d=1，含2条辐边与2条环重边的三角剖分图）的边界包容性：三角形面个数公式a=(n-2)+(n-m)、总边数公式e=2n+(n-m-3)分别计算得2和4，与实际完全一致；轮构型模块数（基础公式得1）与辐边数（简化公式得2）适配该结构特征，通过6节点双层虚拟环标准化转化后，普适公式w=6(n新-4)得30，实现边界情形与标准结构的统一处理。该验证彰显了公式体系的鲁棒性与三维代数嵌入范式的普适性，为四色定理构造性证明奠定模块基础。

朱明君

设 n ：二维平面图总节点总数（含虚拟节点）， n≥4
m ：外围节点数， m≥2
d ：由外向内第二层环节点数， d≥2
w ：辐边总和
a ：三边形（三角形）个数
e ：边的个数

1. 辐边总和公式
   w = 6(n-m-1) + (m-d)
   
2. 三角形个数公式（两种形式）
   a = (n-2) + (n-m)
   a = w - [3(n-m+2) + 2]
   
3. 边数公式（两种形式）
   e = 2n + (n-m-3)
   e = （w + 3m + d）/2