王虹与合作者证明的“三维挂谷猜想”像完善一台永动机

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王虹与合作者证明的“三维挂谷猜想”像完善一台永动机

原创  蒹葭  蒹葭苍  2025 年 12 月 22 日 21:26  天津



王虹和扎尔证明的三维挂谷猜想，是一个关于“如何让一条线段在空间中指向所有方向，同时又不占用太多空间”的数学问题。要直观理解这个非常抽象的证明，我们可以把它想象成一种神奇的“数学打包术”。

其核心问题可以这样想象：基础目标是你有一支无限细的铅笔，需要在空间中让它指向每一个可能的方向。它的核心矛盾是为了指向所有方向，铅笔肯定需要在空间中以不同角度存在。但数学家的目标是，让这些指向四面八方的铅笔，所占据的总体积尽可能小，甚至想研究它能否无限趋近于零。

挂谷猜想在二维与三维的本质区别是在二维平面（比如一张纸）上，数学家们早已发现，你可以用一些非常巧妙、近乎分形的复杂图形来安放所有方向的铅笔，使得图形面积可以任意小。然而，在三维空间中，这种“无限压缩”是做不到的。无论你用多巧妙的办法安排这些线段，它们所占据的集合，在数学意义上“维度”必须是完整的 3 维，这意味着它本质上仍然是一个有“体积”的实体，无法被压缩成更低维度的、无限薄的形状。

王虹与合作者的证明的核心突破就像修理一台“永动机”。其证明的核心挑战在于，数学家已经知道这个集合的维度至少是 2.5 ，问题在于如何把下限从 2.5“推”到 3 。王虹和扎尔的证明过程，被陶哲轩形容为“像完善一台永动机”。

她们找到了一种精妙的“尺度归纳”方法，可以把这个推高的过程自动化：她们证明了，如果集合的维度不低于某个数值 X ，那么它就一定也不低于一个比 X 略大的数值 Y 。只要这个逻辑链条能够启动（从已知的 2.5 开始），并且能自我延续，就能像多米诺骨牌一样，最终一路推到 3 。

为了启动和维持这个链条，他们面对的最大障碍是一些结构特别复杂、难以分析的集合（“非聚集性”集合）。王虹的策略是将它们转化为一种更易于分析的“粘性”集合来处理。其中最关键的一步，就是找到了一个描述这些“打包模块”（颗粒）重叠方式的结构定理。

三维挂谷猜想的证明本身是基础数学的重大突破，其应用意义主要体现在对其他数学领域的深刻推动上，可以形象地理解为一栋“猜想之塔”的地基。它的影响主要有两个层面：

首先，证明夯实数学理论的“地基”。挂谷猜想是调和分析、几何测度论等领域的核心问题。许多更重要的数学猜想（如限制猜想、博赫纳-里斯猜想）都建立在其成立的前提上。可以这样理解，这些猜想组成了一个“塔”，挂谷猜想是最底层的地基。王虹的工作证明了地基坚不可摧，让上层的建筑者们可以安心、大胆地继续向上攀登。

其次，证明开启广泛应用的“通路”。挂谷猜想证明所连通的上层理论，是通往许多现代科技的数学桥梁，其潜在应用是深远而间接的，这些上层的潜在影响包括：

如信号与图像处理：其上层理论与傅里叶分析（信号处理的核心数学工具）紧密相连，这关系到图像压缩、音频处理等日常技术。

如物理方程求解：与波动方程、流体力学（如纳维-斯托克斯方程）的研究有深刻联系，有助于我们理解从声波传播到飞机飞行的各种物理现象。

如数论与密码学：令人惊奇的是，这个问题甚至与黎曼猜想、素数分布这样的纯数论问题有潜在关联，而后者是现代密码学的理论基础之一。

总而言之，王虹的证明，不仅是解决了一个百年谜题，更是为一系列现代数学和科学问题的研究提供了更坚实的逻辑基础，打开了新的可能性。这个证明中更具体的数学思想，比如“尺度归纳”和“颗粒化分析”，对其它数学家等也具有很大的启发性和借鉴意义。

蒹葭苍