辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

朱明君

辐边总和公式体系（原始表达式整理版）

一、 核心参数定义

1.n ：总节点数（ n \geq 4 ）
2.m ：外围节点数（ m \geq 2 ）
3.d：第二层环节点数（ d \geq 2 ）
4.w：辐边总数
5.a ：三角形个数
6.e ：总边数
7.P ：共享边个数
8.R ：节点度数之和

二、 基于  n,m,d  的基本公式


\begin{aligned}
a &= (n-2) + (n-m) \\[2mm]
e &= 2n + (n-m-3) \\[2mm]
P &= 2n + (n-m-3) - m = n+3 \\[2mm]
R &= 6n - 2m - 6 \\[2mm]
w &= 6(n - m - 1) + (m - d)
\end{aligned}


三、 基于  w,m,d  的导出公式


\begin{aligned}
a &= \frac{w + 2m + d}{3} \\[2mm]
e &= \frac{w + 3m + d}{2} \\[2mm]
P &= \frac{w + m + d}{2}=3n+2m-3 \\[2mm]
R &= w + 3m + d
\end{aligned}


四、 特殊对称情形（ m = d = \frac{n}{2} ）


\begin{aligned}
w &= e + \left(\frac{n}{2} - 3\right) \\[2mm]
e &= w - \left(\frac{n}{2} - 3\right)
\end{aligned}


五、 公式体系自洽性待验证点
1.基本公式中  P = 2n+(n-m-3)-m  的代数化简结果应为  3n-2m-3 ，与所写的  P=n+3  存在矛盾。
2.导出公式中  P = 3n+2m-3  与基本公式化简的理论结果  3n-2m-3  符号相反，且与  P=\frac{w+m+d}{2}  的一致性需进一步验证。

是否需要对上述矛盾点进行代数推导核对，修正公式中的计算错误？