【数学家的故事】雅可比：数学界的莫扎特，为数学而燃烧的人生

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【数学家的故事】雅可比：数学界的莫扎特，为数学而燃烧的人生

原创  黑白  黑白读书笔记  2025 年 12 月 28 日 19:14  吉林



1829 年，柏林大学的学术委员会收到一份令人困惑的申请。一位 25 岁的年轻人申请数学教授职位，提交的材料既不是传统论文，也不是教材，而是一本刚刚出版的《椭圆函数基本新理论》。评委们翻阅后陷入沉默。这部著作展示的数学深度，超越了他们所有人的理解。这位年轻人叫卡尔·古斯塔夫·雅可比。

01  柏林神童的“数学火焰”

1804 年，雅可比出生于普鲁士的波茨坦，一个富裕的犹太银行家家庭。

他自幼聪明，跟随舅舅学习拉丁文和数学，1816 年 11 月，进入波茨坦大学预科学习，12 岁的他已经自学欧拉和拉格朗日，试图解五次代数方程。

1821 年，雅可比进入柏林大学，他对哲学、古典文学和数学都感兴趣，最后还是决定全身投入数学。

校长对他的评价说，从一开始雅可比就显示出他是一个“全才”，像高斯一样，要不是数学强烈吸引着他，他很可能在语言上取得很高成就。

他的弟弟后来回忆：“卡尔的书房总亮灯到凌晨三点。父亲担心他的健康，但他说‘数学真理只在深夜显现’。”

1825 年，21 岁的雅可比以关于分式函数的论文获得柏林大学理学博士学位，评审教授坦承：“这位学生教给我的，比我能够教他的更多。”之后便留校任教。

雅可比的学习方法与众不同，他从不满足于阅读证明，而是重写每个定理的证明，直到找到“最本质、最美妙”的形式。

他的笔记本上写着座右铭：“理解意味着重建。”

他也善于将自己的观点贯穿在教学之中，启发学生独立思考，是当时最吸引人的数学教师。

02  椭圆函数——与阿贝尔的巅峰对决

1826 年，雅可比到柯尼斯堡大学任教，在之后的 18 年间，雅可比在数学研究和教学上都做出了骄人的成绩。

1827 年，挪威天才阿贝尔发表了椭圆函数的突破性论文。

消息传到柏林时，雅可比正在研究同一问题。面对竞争，他没有气馁，而是选择了一条不同的道路。

在短短两年内，雅可比完成了《椭圆函数基本新理论》，成为椭圆函数的一本关键性著作。

最令人惊叹的是他与阿贝尔的关系。当得知阿贝尔因贫困和疾病在挪威挣扎时，雅可比在柏林极力推荐其工作，称阿贝尔的发现“超越了本世纪所有数学成就”。

两位天才的竞争成为数学史上最优雅的对手戏，他们几乎同时独立发现椭圆函数的反演定理，却互相欣赏，彼此成全。

可惜阿贝尔在 1829 年早逝，年仅 26 岁。

雅可比悲痛地说：“他带走了我们本应共同完成的伟大工作。”

此后，他承担起发展椭圆函数理论的重任，几乎以一己之力将其建成数学的宏伟宫殿。

03  分析力学的革命与偏微分方程的先见

1829 年夏天，25 岁的雅可比前往巴黎，此行部分是为了拜访勒让德，也顺路拜访了高斯，并且结识了傅立叶、泊松等法国领军数学家。

1832 年，雅可比将注意力转向了力学和偏微分方程。

当时的力学仍建立在拉格朗日和拉普拉斯的工作基础上，雅可比却看到更深层的结构。

他的《动力学讲义》引入雅可比方程（哈密顿-雅可比方程），这个方程将力学问题转化为一阶偏微分方程，揭示了力学与光学的深刻类比，为后来的量子力学提供了关键数学工具。

更革命性的是他的行列式理论。1841 年，他系统发展了行列式的计算方法，引入“雅可比行列式”，成为多变量积分变换的核心工具。

这项工作直接影响了黎曼对高维几何的思考。

雅可比的学生狄利克雷感叹：“他每转向一个新领域，那个领域就会发生革命。”

确实，他在数论中发现雅可比恒等式，在代数中提出雅可比猜想，在微分方程中发展雅可比方法，每个贡献都足以让一个数学家名留青史。

04  “数学必须服务全人类”

雅可比不仅是天才研究者，更是杰出的教师。

他的讲座在柏林和柯尼斯堡闻名遐迩，教室总是挤满学生。他的教学理念超前于时代。

“我不在乎学生记住多少公式，我在乎他们是否学会数学思考。真正的数学家应该像建筑师，知道每个定理在整个结构中的位置。”

他坚持在讲座中展示思想的发展过程，包括所有的错误尝试和修正。

这种坦诚的教学风格影响了一代德国数学家，包括后来的黎曼和克莱因。

雅可比的生活充满矛盾，出身富裕却简朴度日，才华横溢却极度勤奋，性格热情却健康状况堪忧。

他每天工作 16 小时，常说：“数学不会等待，真理只向持续思考者显现。”这种高强度的工作最终损害了他的健康。

05  最后的定理与永恒遗产

1831 年，雅可比娶了玛丽·施温克，一位倾家荡产的商人的女儿。次年，雅可比的父亲去世。

1842 年，由于身患糖尿病，过度劳累，身体状况不佳而退隐，定居在柏林。

1844 年，接受普鲁士国王的津贴，在柏林大学任教。

1851 年，雅可比在身患流行性感冒尚未痊愈之时，又得了天花，不久便去世，年仅 47 岁，留下了妻子和五个儿子、三个女儿。

他的葬礼上，柏林大学校长致辞说：“我们埋葬的不仅是一位数学家，而是一个数学时代。”

后来，狄利克雷在柏林科学院的一次纪念讲座上，将雅可比描述为拉格朗日以来科学院最伟大的成员。

雅可比在数学上的遗产极其丰富，他的椭圆函数理论成为 19 世纪分析的皇冠，直接影响黎曼面理论。

哈密顿-雅可比方程成为经典力学到量子力学的桥梁。雅可比行列式是现代微分几何和理论物理的基本语言。

他的教学传统通过狄利克雷、克莱因等人传承。他去世前完成的最后一项工作，是关于阿贝尔函数积分的分类，这项工作预告了 19 世纪后期代数几何的爆发。

雅可比临终前对弟子说：“数学不是我的职业，是我的生命形式。”

这句话概括了他燃烧的一生，短暂、炽热、照亮了数学的多个大陆。

在这位早逝天才去世 170 年后，他的思想依然在推动科学前进，这或许是对“永恒”最好的定义。

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