追寻数学里的简单与深刻

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追寻数学里的简单与深刻

原创  丁剑  数学家 2026 年 1 月 7 日 08:00  北京


丁剑，北京大学讲席教授

在过去的几年里，我的研究主要集中于两个方向。其一是随机几何，其中刘维尔量子引力是该领域的一个子课题；此外，我也对与高斯自由场相关的渗流问题抱有浓厚兴趣。另一方向则涉及经典统计物理模型，我特别关注微小的随机扰动是否可能从根本上改变这些模型的原有性质——例如随机游走、安德森局域化以及伊辛模型等。这些课题均属于概率论与统计物理的交叉领域。除此之外，我对一些具有应用背景的理论问题也一直保持关注。

申请博士时，我获得了包括伯克利在内的多所院校的录取。综合考虑学术与生活环境后，我选择前往伯克利深造。陈大岳老师是 Yuval Peres 的合作者，经由他的推荐，我得以加入 Yuval 的研究团队。在读博初期，我的研究方向主要遵循导师的指导，当时 Yuval 对马尔可夫链的收敛时间（即混合时间）感兴趣，因此我也随之开展了长达两年的混合时间研究。

这一转折实际上颇为自然。在完成马尔可夫链混合时间的研究后，我对马尔可夫过程与随机游走有了更深入的了解。我们随后探讨了随机游走的覆盖时间问题，虽然与之前工作略有不同，但仍在同一脉络中延伸。正如 David Aldous 和 James Fill 在其关于马尔可夫链的专著中所阐述的，混合时间、相遇时间、耦合时间与覆盖时间等概念密切相关。在研究覆盖时间时，我们发现随机游走的覆盖时间与图上高斯自由场的最大值存在联系。这个问题引起了我的兴趣，因为高斯过程的极值本身是一个基础而重要的问题。由此，我逐渐转向研究高斯过程的极值，其中二维高斯自由场成为一个关键特例，我在该方向上开展了一系列工作。这些转变都是顺理成章的。

我与 Allan Sly 和 Nike Sun 早已相熟，不仅经常两两交流，也时常三人一同讨论。在很长一段时间里，他们甚至充当了我的“英语老师”——除了正式场合外，在日常交谈中他们也会实时纠正我的表达错误。他们曾从事约束可满足性问题的计算复杂性研究，在一次闲聊中，他们提到对随机约束可满足性问题感兴趣。我也觉得该问题颇具吸引力（当然，我们也意识到其重要性），于是我们便开始了合作探讨。类似的情况在我学术生涯中屡见不鲜：与同行熟识后，常在茶余饭后的交流中自然发掘出共同兴趣，进而开展合作。

我在选择研究问题时往往比较随性，但大致遵循一个标准：这个问题需让我能够不太费力地理解。如果需要耗费大量精力才能弄懂，那通常不会成为我的首选——除非我已具备相关背景，并愿意投入额外学习。我通常偏爱那些描述起来直观易懂、但解决起来具有挑战性，并且蕴含新颖数学结构的问题。例如，kSAT 问题的表述十分简单，最初吸引我的是其中巧妙的组合结构。当然，最终解决该问题所使用的工具极为深刻，而物理学家的贡献不仅给出了精确预测，也为我们的数学证明提供了关键启示。

是的，这一方向与统计物理、计算复杂性乃至统计推断均有联系。由于 kSAT 问题在最坏情况下极难计算，我们转而考虑随机 kSAT，试图刻画在何种参数条件下存在高效算法，以及在何种条件下很可能不存在高效算法。我们解决了 kSAT 解存在性的相变问题，这只是宏伟蓝图的第一步。学界希望更彻底地理解解空间结构的相变，进而指导算法设计或提供计算难度的证据。目前，我们对计算复杂性中的相变仍知之甚少。类似的计算困难在统计学中也经常出现：很多时候我们已拥有足够的信息进行统计推断，却缺乏有效算法从中提取有用信息（有时甚至可能根本不存在高效算法）。我认为这是一个理论深刻、应用背景丰富的研究方向，不过目前我在此领域的参与已逐渐减少，现在主要与一些从事统计研究的朋友保持交流。

2013 年，我在一次学术会议上作了关于高斯过程极值的报告。会后，Thomas Spencer 向我指出，二维情况下带随机外场的伊辛模型的衰减速率尚未解决，且在物理学家中存在争议。他认为该问题与高斯过程极值存在关联，建议我尝试研究。我很快被这个问题吸引，但起初毫无头绪。在芝加哥大学访问时，我曾与 Steven Lalley 讨论过，用他的话说，我们当时“完全找不到突破口”。然而这个问题一直萦绕在我心头，我始终觉得它非常有趣，并且一直怀疑（尽管无法证明）是否在所有参数下均存在指数衰减。2019 年，在指导宾夕法尼亚大学一年级学生夏家铭时，我提出一同研究该问题。尽管对一年级学生来说挑战巨大，但我认为即便能取得部分进展也很有意义。最终我们竟完全解决了该问题，这令我倍感欣喜。

这与之前的模式大抵相似。我曾与徐长吉、Ryoki Fukushima 、孙嵘枫研究随机环境中的随机游走局域化问题。当时我仅模糊听过“安德森局域化”这一术语，并不清楚其具体含义，于是想探究它是否与我们关于随机游走的工作相关。后来在一次午餐时，我向 Charles Smart 询问是否了解安德森局域化，他表示熟悉并正在思考相关问题，我们便展开了讨论。我们两人的背景差异很大：他兼具偏微分方程和概率论的训练，而我对偏微分方程不甚熟悉，但在概率技巧方面较为熟练。这样的交流让我们感到既有趣又互补。

在研究过程中，自然会积累许多难题——它们往往正因为困难而尚未被解决。每当我听到新的学术报告，或在其他问题上产生新想法时，都会回头审视这些遗留问题，尝试将新思路应用其中。当然，大多数时候并不适用，那就等待下一次机会。

博士期间，我一直与导师合作研究混合时间、覆盖时间等问题。毕业后的几年里，我发现自己能够与不同学者广泛交流、从事多样化的研究方向，这或许是我毕业后首次感到有所成长，尽管并没有某个标志性事件。近年来，我更体会到自己能够察觉那些看似零散的问题之间的联系，偶尔还能将一个方向的想法迁移至另一方向，这让我感到十分愉悦。

面对错误，首先尝试修正；若无法立即解决，只好暂时搁置。这类情况我已历多次，实属正常。固然会感到失落，但若同时其他问题进展顺利，便不至于太过沮丧。

是的，我本科第一年在信息管理系就读。当时我成绩最好的课程是高等数学，因此当出现转系机会时，我选择转入数学科学学院。

这段经历影响深远。在北大学习高等概率论与随机过程论后，我在伯克利第一年的课程学习相对轻松。

记得本科时，多元统计课程对许多同学来说颇有难度，韩晗便组织了一个读书会——当时他在概率统计系颇具号召力。在读书会中，每两名学生一组，需总结一章内容，并于晚自习时进行汇报。

至于概率论相关的研讨班，我自然参加过陈大岳老师与章复熹老师的讨论班。为了学习随机图，我曾与陈大岳老师的博士生刘琦组织过仅有两人的研讨班。后来我们还前往中国科学院蹭课，刘琦带我参加了马志明老师的讨论班。如今北大本科生的研讨班更加丰富多样，我所接触的一些年轻本科生，水平已相当出色。

我认为北大的课程体系非常优秀，设计扎实且内容有深度。转系之前我未系统学习数学分析，但北大有一本方企勤老师的《数学分析习题集》，认真研习一遍后，我感到已打下较好基础。这类习题资源其实相当丰富。此外，环境的影响亦不可忽视——身边的同学便是重要的动力来源。与同龄人讨论问题时，看到他们既努力又聪明，对我是一种极大的激励。在这样的互动中，大家共同进步。北大拥有众多优秀学子，在这方面具有得天独厚的条件。

陈大岳老师的考试堪称“严苛”。我曾长期生活在可能挂科的担忧中，因此不得不全力以赴，最终在应用随机过程课程中取得了不错的成绩。如今他的风格或许已有所缓和，但我们当时确实感受颇深。相比之下，常微分方程课程许多人考满分，而我仅得 80 分，可见投入程度的不同。现在回想，我被陈老师这种教学方式“塑造”的学生虽不多，但我确实是其中之一。

夏壁灿老师是我本科科研的指导教师，对我的影响同样深远。当时我从事符号计算方向的研究，与另一位同学汪腾合作，我们常与夏老师讨论。他为我们创造了与领域专家交流、参会学习的机会，这对我们感受学术氛围、融入科研环境起到了重要作用。

作为转系生，我第二年才进入数院，未能与同级同学建立第一年的“革命友谊”，起初融入集体时略感生疏。后来我经常待在学院的本科生阅览室，从早到晚，渐渐与那里的同学熟悉起来。转系前，我与刘保平同修一门英语课，他向我讲述了数学系的种种故事与趣闻，并慷慨地介绍我认识他的好友，使我迅速融入了这个圈子。在我进入概率统计系之前，韩晗成绩名列前茅，我的出现似乎对他构成了“威胁”。我们曾在小小楼中进行了一次畅谈，两人自信满满、意气风发，如今回想不免觉得当时有些轻狂，但年轻时有些锐气也并非坏事。

在出国留学方面，2001 级的学长马宗明对我影响至深。他建议我选择概率统计方向并争取前往伯克利，可以说是我出国决定中的关键人物。如今他是我在沃顿商学院的同事。

每当我感到焦虑时，常会与人相约吃饭、倾诉，通常是和马宗明或孙鑫。宗明学长自本科起便经常请我吃饭，付账时总是颇为潇洒。不过自从我入职沃顿，他认为我“步入小康”后，便开始与我 AA 制。孙鑫是 2007 级的学弟，自他加入宾大以来，我们便时常交流。不过与他聊天有时反而加剧我的焦虑——他近期成果颇丰，可称得上是一位常鞭策学长的学弟。他常向我分享最新进展、满意的成果以及潜在的研究方向。作为学长，我倾听并给予赞许，同时也不免感到压力。

记得第一次留学后重返北大时，我背着书包走遍校园每个角落，往事历历在目，几乎潸然泪下。之后我几乎每年都会回来，但如今漫步校园，已不再有当初那般浓烈的情绪，取而代之的是一种淡淡的、持续的眷恋。现在在未名湖畔散步，不再沉浸于回忆，更多是感受到一种莫名的宁静。

今年回北大访问，觉得家园食堂的饭菜十分可口，我已连续享用多日，仍乐此不疲。读书时我常去农园食堂，通常点一份水煮鱼配两碗米饭——当时预算有限，这样既能吃饱又较为经济。手头更紧时则去学一食堂，那里的麻辣烫只需三四元便能吃得心满意足。

起步阶段其实颇为艰难。在伯克利时，课程学习对我而言并不困难，因为相关的概率论课程我在北大已修读过。但研究工作伊始却充满挑战，因为我尚未形成科研思维。记得当时导师 Yuval Peres 让我思考一维环上伊辛模型的某个单调性问题——该问题可能至今仍未解决。那时我每天的工作就是画两个圈，盯着它们看两个小时，然后去吃饭，如此反复了整个暑假，过程确实煎熬。后来 Yuval 给予了更多具体指导，他不仅拥有许多好问题与好想法，还安排我与当时的博士后 Eyal Lubetzky 合作。Eyal 在我博士初期影响深远，尽管当时我英语表达欠佳，他却极有耐心。我们经常进行长时间的讨论，他教会了我许多。我们合作的第一个问题是关于生灭过程的混合时间，之后一切才逐渐步入正轨。

我的体会是，学生起初往往对研究缺乏感觉，但通过一次次观察、参与、经历这个过程，便会慢慢形成直觉、建立自信。一旦大致理解研究是如何开展的，自主想法也会逐渐涌现。起初有人扶持，之后独立行走，进而加速前进，最终尝试起飞——大抵如此。

我认为北大数学学科实力雄厚，如今招收的学生素质出色，标准也很高。在接近国际超一流水准之前，其发展预计不会遇到太大瓶颈；但要达到最顶尖大学的水平，或许还需要更多人与更长时间的努力。

我通常先选定一个问题，让学生独立研究直至遇到瓶颈，我们再共同讨论；待突破后，学生继续推进，直到下一个瓶颈再次讨论。好的指导方法应因人而异，因材施教才是上策。有的学生适合手把手带，有的则适合自主探索，并无统一答案。

我对学生的基本期望是能够从我这里学到东西；进一步，希望我们能相互学习、教学相长；再进一步，是学生能够反过来教我，而我仍能跟上其思路；至于那些能反过来教我、而我却跟不上其节奏的学生，则可谓优秀至极。更卓越者，于我而言便有些深不可测了。

若同时从事多个不同方向的研究，成果自然容易丰富。然而，最终衡量学术贡献的标准，应在于是否提出了对该领域发展具有不可替代意义的想法。因此，并非自我加压越多越好，相反，我们需要一定的沉淀时间，在对学科发展有足够了解后，才能判断哪些方法与问题具有更深远的意义。有时，短短几页论文所包含的内容，可能远胜于许多文章（甚至包括一些发表于顶级期刊的文章）。

回顾过往，我认为最值得借鉴的一点是避免停留在舒适区。我每天至少保持两小时高度专注的学术思考，无论其他事务如何繁忙，都尽力维持这一习惯。学术研究并非短期内昼夜不休、长期却完全搁置，持之以恒的专注与思考才是关键。

我曾多次自我怀疑。博士初期怀疑自己能否从事学术研究；之后则常常怀疑是否还能做出令自己兴奋的成果。每当一段时间缺乏好想法时，这种怀疑便会出现。或许多数人比我乐观，但我有一个优点：即便自我怀疑，也从未停下脚步。

在完成教学任务后若有时间，我会将感兴趣的问题逐一拿出思考，有时便会产生新的想法。与不同学者交流、切换研究方向与问题，也常带来新的启发。坚持其实谈不上，因为思考数学已成为一种习惯。但情绪调节确实不易。有时研究陷入停滞，我会在楼道踱步希望找人聊天，却发现大家都很忙碌，只好默默回办公室继续沉思。

找到一位你欣赏的老师，结识几位志趣相投的同学，选择一个让你感兴趣的方向，一起阅读、思考、讨论。即便最终未能取得显著成果，这段经历也依然愉悦而珍贵。

本文源自北大数院及网络公开信息，“数学家”公众号编撰小组整理编写。

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