\({\Huge^\star\color{navy}{\textbf{ 漫谈数, 极限和无穷}}}\,\color{red}{置顶}\)

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极限的必要性
极限观念古已有之. 刘徽割圆, 阿基米德算黄金分
割, 费马求极值, 牛顿莱布尼兹创建微积分都离不
开极限.  然而这些天才们沒赶上十九世纪因而没
有极限的严谨概念. 天才的目测虽所向披靡,却也
留下很多著名猜想和逻辑存疑,  没有自洽的极限
概念及进一步的数学洞见这些问题无从入手解决.  
拉马努金就有大量极限类命题. 被今人叫作猜想.
极限概念与数和序 (大小顺序) 及无穷的概念密不
可分. 而数, 序及无穷的概念只有在集合论中才得
以真正建立. 此说显得很霸道. 所以尝试科普漫谈.\(\underset{\;}{\;}\)
极限的不可达本质
我们先从\(\small\sqrt{2}\)到底等于啥说起. 这问题默认\(\small\sqrt{2}\,\)可
被我们确信为数的有限小数即某有理数表示.
记\(\small\,\alpha\)为边长为\(\small 1\)的正方形的对角线长. 据勾股定理
\({\small \alpha^2=1^2+1^2,\;\alpha^2-1=1,\;\alpha-1=}\frac{1}{1+\alpha}\) 故有
\({\small(^\star)\;\;\alpha=1+}\frac{1}{1+\alpha}\).  将\(\small(^\star)\)的右边代入\(\small(^\star)\)的右边
出现的\(\alpha\)得 \({\small\alpha=1+}\scriptsize\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+\alpha}}\).   重复这种操作得
\(\small(\dagger)\;\;\scriptsize\sqrt{2}=1+\tiny\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\color{red}{\cdots}}}}}\;\;\)(\(\small\sqrt{2}\)的连分数)
上式中 \(\small\,\color{red}{\cdots}\,\)表示不断继续所论等量代换. 所以\(\small\sqrt{2}\)
是无理数, 不能表示成有限小数. 其渐近分数序列
\(\scriptsize 1,1+\frac{1}{2},1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}, 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}, 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}},\cdots\) 即
\(\small\{\frac{p_n}{q_n}\}:\frac{1}{1},\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\frac{239}{169},\frac{577}{408},\frac{1393}{985},\cdots\)由递
推公式 \(\scriptsize p_1=q_1=1,\;p_{n+1}=p_n+2q_n,\;q_{n+1}=p_n +q_n\)
完全确定.无须逐一写出(也不可能逐一写出). 除非
明确定义无尽连分数, 否则\(\small(\dagger)\)根本谈不上成立．
装一把天才, 提议无尽连分数是其渐近分数序列的
极限, 合乎运算 \({\scriptsize\alpha=\lim}\small\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}{\scriptsize=\lim\frac{p_n+2q_n}{p_n+q_n}  
=\lim}\frac{\frac{p_n}{q_n}+2}{\frac{p_n}{q_n}+1}.\)
\({\scriptsize=}\small\frac{\alpha+2}{\alpha+1}\) 于是 \(\scriptsize\alpha(\alpha+1)=\alpha+2,\,\alpha^2=2,\,\boxed{\alpha=\sqrt{2}}\)
拟称\(\small\{a_n\}\)的极限为一常数\(\small a\), \(\small a_n\)随\(\small\,n\,\)的增大无限
趋近\(\small a\). 而数是有向线段的长度. 如果极限理论不
能用于确立\(\small(\dagger)\)的正确性, 那极限论还有啥用？
而\(\small(\dagger)\)成立则表示无理数\(\scriptsize\sqrt{2}\)不能被其渐近分数(有
理数)达到. 以下极限定义扬弃了当\(n\)趋于无穷时,
或随\(n\)增大, 无限趋近等灵动片语的含糊性. \(\underset{\;}{\;}\)
序列极限的正式定义
【定义】若有定数\(\small a\), 对任给 \(\small \varepsilon\scriptsize > 0,\)存在自然数\(\small N_\varepsilon\)
\(\quad\)使 \(\small|a_n-a|<\varepsilon\) 对任意\(n\small >N_\varepsilon\)成立, 则称\(\small\{a_n\}\)
\(\quad\)收敛, 称\(a\)为 \(\small\{a_n\}\)的极限, 记作 \(\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = a.\)
\(\quad\)若所论定数不存在, 则称\(\{a_n\}\)发散.
\(\quad\)若对任意\(\varepsilon>0,\)有相应的\(N\)使\((m,n>N)\)
\(\quad\implies |a_m-a_n|<\varepsilon\), 则称\(\{a_n\}\)为柯西序列.
【若\(\{a_n\}\)收敛, 则\(\{a_n\}\)是柯西序列】
\(\quad\)设\(\lim a_n=a\), 则对\(\varepsilon>0\)存在\(N_{\frac{\varepsilon}{2}}\in\mathbb{N}\)使得
\(\quad\small(m,n>N_{\frac{\varepsilon}{2}}){\scriptsize\implies} |a_m-a_n|{\scriptsize\le |a_m-a|+|a_m-a|}\)
\(\quad\small<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\) 【注】\(\small\{n\}\)非柯西列,\(\lim n\not\in\mathbb{N}\)
【极限的运算性质】若 \(\small\lim a_n=a,\;\lim b_n=b,\) 则
\(\quad\:\small\lim(\lambda a_n+\eta b_n)= \lambda a+\eta b,\,\lim a_nb_n=ab.\)
\(\quad\)且 \(\small\lim\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{a}{b}\;(b\ne 0)\). \(\underset{\;}{\;}\)
极限定义的数学里程碑意义
【评注】可别小看了这个极限定义. 人类数学至少
花了两百年才达成这个认识. 它还引发了整个数学
基础的研究. 但凡种孬天生愚质之人终其一生未得
要领的不计其数．这个大家懂的, 就不多发挥了.
序列极限的定义确切地给出了数列趋于其极限的
鉴定准则. 易见 \(\small\,\lim a_n = a\) 当且仅当无论\(\small\varepsilon(>0)\)
如何小,\(\small\{a_n\}\)的项除有限多例外都在\(\small(a-\varepsilon, a+\varepsilon)\)
内! 故极限的定义不依赖广义实数\(\small\infty\)概念, 也无须
回答\(n\)能否趋于无穷这种有限操作无法验证的问
题. 不懂极限的人都会说当\(\small n\scriptsize\to\infty\)时如何如何, 其
实狗屁不通.不断后继下去能称得上趋于无穷时？
谁在极限定义中能找到无穷或趋于无穷的时间？
趋于无穷时是一个自欺欺人的臆淫. 极限是定数.
极限定义的精髓恰恰是去无穷大(小)去精灵化!!!
任何需要无穷操作的东西都归结为非构造的公理,
无穷操作或无穷构造是非法的．对任意自然数\(m\),
取 \(\varepsilon\small=\frac{1}{2}\), 则 \(\small(m-\varepsilon,m+\varepsilon)\)中仅含\(m\)一个自然
数, 故\(\small m\)不是数列\(\small\{n\}\)的极限. 即\(\small\lim n\not\in\mathbb{N}\). 顽瞎
目测只有极限白痴狗屎食家春风晚霞才扯得出来.
但极限定义能够实际检验\(\small\{a_n\}\)的敛散性或算出序
列的极限吗？定义中有关任意\(\small\,\varepsilon>0\,\)是否涉及无
穷操作？来看一些实际例子.
【例0】\(\small\lim \frac{1}{n}=0\)
【证】对\(\small\;\varepsilon>0\), 令\({\scriptsize N_\varepsilon=}\lfloor\frac{1}{\varepsilon}\rfloor\scriptsize+1\)则对任意 \(\small n>\scriptsize N_\varepsilon\)
\(\scriptsize\;\;\)有 \(\small|\frac{1}{n}{\scriptsize-0}|=\frac{1}{n}< \frac{1}{N_\varepsilon}< \frac{1}{\varepsilon^{-1}}=\varepsilon.\;{\scriptsize\;\therefore\;\;\lim}\frac{1}{n}=0\)
【例1】\(\small\lim\sqrt[n]{n}=1\)
【证:】令\(\scriptsize\lambda_n=\sqrt[n]{n}-1>0\;(n>2)\). 据二项式定理,
\(\scriptsize\;\; n=(1+\lambda_n)^n = 1+n\lambda_n+\frac{n(n-1)}{2}\lambda_n^2+\cdots>\frac{n(n-1)}{2}\lambda_n^2\)
\(\scriptsize\;\;{\tiny 1>}\frac{n-1}{2}\lambda_n^2>\frac{n}{4}\lambda_n^2,\,{\tiny 0<}\lambda_n<\frac{2}{\sqrt{n}}.\) 对\(\scriptsize \varepsilon>0, N_\varepsilon=1{\tiny+}\lfloor\frac{4}{\varepsilon^2}\rfloor\)
\(\scriptsize\;\;\)有\(\small\; n>{\scriptsize N_\varepsilon\implies}n>\frac{4}{\varepsilon^2}{\scriptsize\implies}\frac{4}{n}{\scriptsize<\varepsilon^2\implies}\frac{2}{\sqrt{n}}\scriptsize<\varepsilon\)
\(\scriptsize\;\;{\scriptsize\implies |\sqrt[n]{n}-1|=\lambda_n<}\frac{2}{\sqrt{n}}<\varepsilon.\quad\therefore\;\;\lim\sqrt[n]{n}=1\)
【注记】一般地说,  求极限是通过已知极限,  有关
极限的定理,目测+论证得到,没有通用算法. \(\small\varepsilon>0\)
的任意性通过不对\(\small\varepsilon\)提进一步要求,假设实现的. 研
究极限的方法叫数学分析. 数学分析的主要工具是
含变量的不等式.使不等式成立的数域叫有序域.
有序域中关于不等式及四则运算的公理有两条.
(o1) \(\small a>b\implies a+c>b+c\,(\forall c)\)
(o2) \(\small(a>0)\wedge(b>0)\implies(ab>0)\)
【注记】序与运算的公理是所有不等式的基础：
1) \(\small a>0\implies 0=a+(-a)>-a\implies -a< 0\)
2) 易见\(\small a\ne 0\implies a^2>0.\) 可见 \(\small 1=1^2>0\)
3) \(\small a>0\implies (\frac{1}{a})^2>0\implies \frac{1}{a}=a(a^{-1})^2>0\)
4) \(\small a>b>0\implies ((a-b)>0)\wedge (ab>0)\implies\)
\(\quad\frac{a-b}{ab}{\small= b^{-1}-a^{-1}>0\implies a^{-1}< b^{-1}}\)
5) \(\small|a|\ne |b|\scriptsize{\scriptsize\iff}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2{\scriptsize>0\iff \dfrac{|a|+|b|}{2}>}\sqrt{|ab|}\)
\(\;\;\;\) 这是两个变元的算术平均不小于几何平均定
理. 利用数学归纳法可证明 \(\scriptsize\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\le\dfrac{a_1+\cdots a_n}{n}\)
\(\small a_k\ge 0\,({\scriptsize k=\overline{1,n}})\) 等式成立当且仅当全部\(a_j\)等于某
非负常数. 不等式手册比新华字典篇幅更大, 全部由
上述公理(o1,o2)及已知分析定理推导而得.逻辑严
密到连\(\small 1>0\) 都可论证. 当然这不在不等式手册中.
手册收藏用途广泛和非平庸的不等式.
\(\small\mathbb{Q}\)是有序域但如上所述连分数渐近序列的极限可以
不是有理数. 所以为了极限论及函数论人们需要一
个含\(\small\mathbb{Q}\)的更大有序域 \(\mathbb{F}\),  它对四则运算封闭, 有一
个序关系\(\small\le\)满足 \(\small(a\le b)\wedge(b\le a)\implies(a=b)\)
\(\small(a\le b){\scriptsize\wedge}(b\le c){\scriptsize\implies}(a\le c)\). 记\(\small(a\le b){\scriptsize\wedge}(a\ne b)\)
为\(\small a< b\)或\(\small b>a\). 我们要求 \(F\) 满足三分律: 对\(\mathbb{F}\) 中
任意\(a,b,\;a< b,\; a=b,\:a>b\) 三式中有且仅
有一式成立. 满足分律的序集也叫全序集. 设\(E\) 为
\(\mathbb{F}\)的非空子集, 若有\(\small\gamma\in\mathbb{F}\)使 \(\small x\le\gamma\,(\forall x\in \text{E})\) 则称
\(\gamma\)是\(E\)的上界, \(E\)有上界或上有界. 据公理\( o1\), 若\(E\)
有上界, 则\(E\)的上界的全体是一无穷集. 若\(E\)的上界
集有最小元, 即\(E\) 有最小上界 \(\sup E\), 则称其为\(E\)
的上确界. 对称地定义下界，下确界等概念. 十九世
纪,二十世纪的一众数学家们相继发现, 如果


待续