数学符号体系的建立（三）

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数学符号体系的建立（三）

原创  公众号作者  数学文化与数学教育  2025 年 12 月 12 日 17:18  山东

三、用字母表示数

用字母代替数是数学发展过程中具有里程碑意义的事件之一，它开启了数学一般化、符号化之路，极大地推动了数学的发展。

1. 回望来时路

1700 多年前，古希腊数学家丢番图在著作中首次用小写希腊字母 σ（西格马）的词尾“”表示未知数，还把未知数称为“题中的数”。古印度数学家曾用颜色代表除第一个未知量外的其他未知量，把颜色名称的第一个字母作为未知量符号。我国古代数学家称未知数为“天元”，在算筹旁注“元”字表示未知数，注“太”字表示已知数。

意大利修道士帕乔利在其 1494 年出版的著作中曾用 CO、CE、CU、CECE 代表 x、x^2、x^3、x^4 等未知量和乘幂。CO、CE、CU 分别是意大利语 cosa（事物）、census、cuba 的前两个字母，帕乔利把未知数的平方叫 census ，把未知数的立方叫 cuba 。

韦达是第一个有意识地、系统地使用字母表示数的数学家。1591 年，韦达在著作中用辅音字母 B、C、D 等表示已知量，用元音字母 A、E、I 等表示未知量，用 A quadratus（字母 A 与 quadratus 的组合）、A cubus（字母 A 与 cubus 的组合）代表 A^2、A^3 。韦达认为，代数是对事物的类或形式的运算，算术是对具体的数的运算。这样代数就成了研究一般类型的量和方程的学问，与算术区别开来，奠定了符号代数学的基础。韦达还发现并证明了一元二次方程的根与系数的关系即韦达定理，最早引用了中括号和大括号，被西方称为“代数学之父”。

对韦达的字母系统进行改进的是另一法国数学家笛卡尔，他用字母表中前面的字母 a、b、c 等表示已知量，后面的字母 x、y、z 等表示未知量，成为我们今天的习惯用法。另外，笛卡尔还首创了平方根号和立方根号（和现在的立方根号不同）。

对数学符号体系的建立作出重大贡献的还有德国数学家莱布尼茨。莱布尼茨于 1684 年发表了第一篇微分论文，定义了微分概念，采用了微分符号 dx , dy 。1686年莱布尼茨又发表了积分论文，使用了积分符号“ ∫ ”。

2. 历史意义与影响

从数学符号体系的建立过程可以看到，数学家们开始也没有意识到引用符号表达数学的重要意义，经历了从不自觉到自觉使用的漫长过程，凝聚着众多数学家的智慧和汗水。数学的符号化为其他科学门类所借鉴，对数学和其他科学的发展起到了重要的推动作用，深深影响着人们的思维方式。

数学的符号化也影响了一代代普罗大众。我们知道，人们通过对现实世界中的数量与数量关系、图形与图形关系的抽象得到数学概念，这是第一阶段的数学抽象。数学符号化以来，人们用符号化、形式化的语言解释概念以及概念之间的关系，数学抽象进入第二阶段。同时，符号化也使数学逻辑推理由使用语言文字表达转变为用数学术语、字母、符号表述，逐步走向“符号逻辑”。

从数学符号体系建立的漫长过程可以看出，我们大多数人不习惯不擅长依靠抽象的字母、符号进行思维。数学的符号化不仅大大提高了数学的抽象程度，还使逻辑推理更加脱离现实直观、图形直观，增加了学生的学习难度，成为许多学生数学学习的痛点、堵点。如何引导学生适应数学的这一特性，在数学学习之路上走得更稳、更远，值得大家深思。

参考文献

1.（美）克莱因（Kline，M.）.古今数学思想(第1册)[M].张理京等,译.上海:上海科学技术出版社,2014.

2. 徐品方,张红.数学符号史[M].北京:科学出版社,2006.

3.（美）卡茨（Katz,V.J.）数学史通论[M].李文林等,译.北京:高等教育出版社,2004.

4. 史宁中.数学基本思想 18 讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.

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