百年高考迎新年1-武汉大学，\(x^2+2y^2-4x-2y-6=0...\)计算相切之圆锥曲线

dodonaomikiki

可能具有一定难度哦！

dodonaomikiki

开始绘出一个基本图，
让我们看一哈这个交点是咋样地！

dodonaomikiki

如若圆锥曲线为园，
好像比较唯一！

dodonaomikiki

如若圆锥曲线为斜椭圆，
那么答案好像无穷无尽，无穷匮焉（通过五点作图）！



要真是那样，题目也太难啦吧！

tmduser

以下是理论解题方法：
过两个交点的二次曲线系方程可以表示为：
\(^{\lambda\left( x^2+2y^2-4x-2y-6\right)+\delta\left( y^2+xy-8\right)=0}\)
对该方程求导得：
\(\lambda\left( 2x+2yy'-4-2y'\right)+\delta\left( 2yy'+y+xy'\right)=0\)
该二次曲线与x轴相切，在切点处有y'=0，y=0，可解得：
\(x=2{,}\ y=0\)
再回代到曲线束方程，可解得：\(\frac{\lambda}{\delta}=-\frac{4}{5}\)
从而可确定曲线方程。

以上求出来的曲线适合有四个实交点的情形或要求复根也满足方程，
而题目中的两个方程只有两个实交点，过两点再加一个切线条件，
理论上有无穷多个曲线满足条件。

dodonaomikiki

我很想把这个圆画出来

\(
  \begin{cases}                \\  
（x-0.572）^2+（r-2.557）^2=r^2                \\
（x-5.054）^2+（r-1.266）^2=r^2                \\
\end{cases}       \\
\Longrightarrow               \\

  \begin{cases}                \\  
x^2-1,144x+0,572^2-5,114r+2,557^2=0 \\
x^2-10,108x+5,054^2-2,532r+1,266^2=0        \\
\end{cases}       \\



然后第二个式子乘以\frac{ 5,114 }{ 2,532 }  \approx    2,02       \\
这样之后两式相减彻底抹掉半径r       \\
\Longrightarrow               \\
  \begin{cases}                \\  
x^2-1,144x+0,572^2+2,557^2=0   \\
x^2 \bullet  2,02-10,108x \bullet  2,02+5,054^2 \bullet  2,02+1,266^2 \bullet  2,02=0        \\
\end{cases}       \\


接续下来的计算就很简单啊：        \\
\begin{cases}                \\  
x          \approx    2,949        \\
r             \approx  2,3833        \\
\end{cases}       \\





\)

dodonaomikiki

感谢tmduser老师的谆谆教诲！

dodonaomikiki

\(
根据tmduser老师的指导，              \\
我随心随意就取一组数据： \lambda=-4, \delta=5             \\
推导出来所求的圆锥曲线：  4x^2+3y^2-5xy-16x-8y+16=0             \\
这样的椭圆尽显本色和原始！             \\
当然也很漂亮！             \\
只不过，我所做的圆形是一种褪化得圆锥曲线的表现！...\)

tmduser

若已知两点坐标(x1, y1)、(x2, y2)，如何求出所有的过这两点且与x轴相切的二次曲线方程？
以下为解题思路：
（1）假设二次曲线的方程为 Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
       根据相切条件方程两边对x求导有：2Ax + 2Byy' + Cy + Cxy' + D + Ey' = 0
       在切点处有：y=y'=0, 代入可解得切点坐标：x = -D / 2A
       代入原方程可解得：F = D^2 / 4A
（2）再根据方程组：Ax1^2 + By1^2 + Cx1y1 + Dx1 + Ey1 + F =0；
                                Ax2^2 + By2^2 + Cx2y2 + Dx2 + Ey2 + F =0;
                                F = D^2 / 4A
        虽然有6个未知数，实际上只有5维，可以按A=0或A≠0两种情况来解。
        可将E、F作为已知量解得系数关系，即可得曲线系方程。
        如果要唯一确定方程，必须增加其它约束条件。
不过此法不适用本题，因为此题两交点坐标无常规根式解。