大数学家 Dirichlet 的学生时代

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大数学家 Dirichlet 的学生时代

原创  mathematici  数学家  2026 年 1 月 11 日 08:04  北京



十九世纪上半叶德国数学的巨大进步，在很大程度上主要与 C.F. 高斯（1777-1855）、C.G.J. 雅可比（1804-1851）和 G. 勒热纳·狄利克雷（1805-1859）的开创性工作有关。事实上，十九世纪下半叶几乎所有德国主要的数学家都是他们的学生，或者他们学生的学生。对于雅可比和狄利克雷来说尤其如此，他们极为成功地引入了一种紧密围绕他们当前研究的新教学水平，而高斯则“真正不喜欢”教学——至少在高斯开始其职业生涯时盛行的低水平教学上是如此。如果没有高斯、雅可比和狄利克雷奠定的基础，德国数学在十九世纪下半叶甚至直到决定性的 1933 年所扮演的主导角色将是不可想象的。但是，尽管高斯和雅可比已经有了详细的传记，对于狄利克雷生平和工作的类似记述仍然是一个屡屡令人遗憾的缺憾。特别是，英文中只有少数几篇关于狄利克雷的文章，大多相当简短，其中一些不幸因错误的陈述而受损。本文旨在初步尝试弥补这一状况。

家庭背景与学校教育

约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）——这是他的全名——于 1805 年 2 月 13 日出生在迪伦（大约位于科隆和亚琛之间）。他是约翰·阿诺德·勒热纳·狄利克雷（1762-1837）和他的妻子安娜·伊丽莎白（娘家姓林德纳）（1768-1868?）的第七个也是最小的孩子。狄利克雷的父亲是迪伦的邮政局长、商人和市议员。他职业的官方名称是“commissaire de poste”。1807 年之后，由于与革命法国和拿破仑战争的结果，莱茵河左岸的整个地区处于法国统治之下。因此，狄利克雷家族的成员在狄利克雷出生时是法国公民。在拿破仑·波拿巴在滑铁卢最终失败以及随后维也纳会议（1814-1815）对欧洲进行重组之后，包括波恩、科隆、亚琛和迪伦在内的莱茵河左岸大片地区归入普鲁士统治，狄利克雷家族成为了普鲁士公民。

由于“勒热纳·狄利克雷”这个名字对于一个德国家庭来说看起来相当不寻常，我们简要解释一下它的起源：狄利克雷的祖父安托万·勒热纳·狄利克雷（1711-1784）出生在韦尔维耶（比利时列日附近），并定居在迪伦，在那里与一个迪伦家庭的女儿结婚。是他的父亲首先使用“勒热纳·狄利克雷”这个名字（意为"年轻的狄利克雷"），以区别于与他同名（名）的父亲。“狄利克雷”（或“德里舍莱特”）这个名字意为“来自里舍莱特”，这是比利时的一个小镇。我们提及这一点，因为曾有错误的说法称狄利克雷是一个法国胡格诺派家族的后裔。情况并非如此，因为狄利克雷家族是罗马天主教徒。

“勒热纳·狄利克雷”这个名字的拼写并不完全统一：狄利克雷本人写他的名字是“Gustav Lejeune Dirichlet”，名字的两个部分之间没有连字符。狄利克雷在迪伦的出生地，魏尔斯特拉斯大街 11 号，有一个纪念牌匾标示。

库默和亨塞尔告诉我们，狄利克雷的父母对他们天赋极高的儿子给予了非常细致的培养。这对他们来说无疑不是一件容易的事，因为他们绝不富裕。狄利克雷的中学和大学教育发生在普鲁士教育体系进行深远重组的时期。然而，他的中学和大学教育显示出改革前时代的强烈特征，当时几乎不存在正式的规定。狄利克雷首先上了一所小学，当这不够时，又上了一所私立学校。在那里他还接受了拉丁语教学，为上文理中学（Gymnasium）做准备，在文理中学里，学习古代语言是训练的重要组成部分。狄利克雷对数学的倾向很早就显现出来。他还不到 12 岁时，就用零花钱购买数学书籍，当被告知他看不懂这些书时，他回答说，无论如何他会一直读直到理解为止。

起初，狄利克雷的父母希望他们的儿子成为一名商人。当他表示非常不喜欢这个计划并说他想学习时，他的父母让步了，并于 1817 年将他送到波恩的文理中学。在那里，这个 12 岁的男孩被托付给彼得·约瑟夫·埃尔弗尼希（1796-1886）照顾和监督，埃尔弗尼希是古代语言和哲学的杰出学生，与狄利克雷家族相识。埃尔弗尼希没有太多需要监督的，因为狄利克雷是一个勤奋、有礼貌的好学生，很快就赢得了所有与他打交道的人的喜爱。对于这一特质，我们有许多像 A. 冯·洪堡（1769-1859）、C.F. 高斯、C.G.J. 雅可比、范妮·亨塞尔（娘家姓门德尔松·巴托尔迪）（1805-1847）、费利克斯·门德尔松·巴托尔迪（1809-1847）、K.A. 瓦恩哈根·冯·恩瑟（1785-1858）、B. 黎曼（1826-1866）、R. 戴德金（1831-1916）这样的著名同时代人的终身见证。在不忽视其他科目的情况下，狄利克雷表现出对数学和历史的特殊兴趣，尤其是对法国大革命后的近代史。可以推测，狄利克雷后来自由开明的政治观点可以追溯到这些早期的研究以及他后来在巴黎富瓦将军家中的停留。

两年后，狄利克雷转学到科隆的那稣会文理中学。埃尔弗尼希成为科布伦茨文理中学的语文学家。后来他被提升为波恩大学和布雷斯劳大学的教授，并在狄利克雷逗留波恩期间告知了狄利克雷博士学位证书的情况。在科隆，狄利克雷的数学老师是格奥尔格·西蒙·欧姆（1789-1854），他以发现欧姆定律（1826 年）而闻名；电阻的单位就是以他的名字命名的。1843 年，欧姆发现纯音可以用纯正弦振荡来描述。这一发现为傅里叶分析在声学中的应用开辟了道路。狄利克雷在欧姆的指导下，通过勤奋地私下研读数学专著，在数学上进步迅速，以至于他在这么小的年纪就获得了异常广博的知识。他在科隆的文理中学只待了一年，从 1820 年冬天开始，然后带着毕业证书离开了。有人断言狄利克雷通过了毕业考试（Abitur），但核对文件后发现情况并非如此。毕业考试规定要求考生必须能够用拉丁语进行对话，而拉丁语几个世纪以来一直是学术界的通用语。由于狄利克雷在文理中学只待了三年，他很可能会在满足这一关键条件上有困难。此外，他不需要毕业考试来学习他渴望学习的数学。尽管如此，他缺乏说拉丁语的能力在他后来的职业生涯中给他带来了很多麻烦，我们将在后面看到。无论如何，狄利克雷在 16 岁这个异常年轻的年龄离开了文理中学，获得了毕业证书但没有参加毕业考试。

他的父母现在希望他学习法律，以确保儿子有好的生计。狄利克雷表示愿意在白天致力于这种谋生教育——但晚上他会学习数学。此后，他的父母明智地让步了，允许他们的儿子学习数学。

在巴黎的学习

大约 1820 年，对于真正对数学深感兴趣的学生来说，在德国学习数学的条件相当差。唯一世界著名的数学家是哥廷根的 C.F. 高斯，但他担任的是天文学教席，并且首先是天文台（Sternwarte）的台长，他几乎所有的课程都致力于天文学、大地测量学和应用数学。此外，高斯不喜欢教学——至少不喜欢当时普遍的低水平教学。相反，法国的条件要好得多。杰出的科学家如 P.-S. 拉普拉斯（1749-1827）、A.-M. 勒让德（1752-1833）、J. 傅里叶（1768-1830）、S.-D. 泊松（1781-1840）、A.-L. 柯西（1789-1857）活跃在巴黎，使法国首都成为了世界数学之都。亨塞尔告诉我们，狄利克雷的父母自法国统治时期以来仍然与巴黎的一些家庭保持着友好关系，他们让儿子于 1822 年 5 月前往巴黎学习数学。狄利克雷在法兰西公学院和理学院学习，在那里他听取了著名教授的讲座，如 S.F. 拉克鲁瓦（1765-1843）、J.-B. 毕奥（1774-1862）、J.N.P. 阿歇特（1769-1834）和 L.B. 弗朗克尔（1773-1849）。他还请求允许以旁听生的身份在著名的巴黎综合理工学院听课。但普鲁士驻巴黎的代办拒绝在没有普鲁士宗教、教育和医疗事务部长卡尔·弗赖赫尔·冯·施泰因·楚姆·阿尔滕施泰因（1770-1840）特别授权的情况下申请这种许可。这位来自莱茵地区小城镇的 17 岁学生狄利克雷没有机会获得这样的授权。

关于狄利克雷课程的更多细节显然不为人知。我们确实知道，狄利克雷除了上课之外，还致力于私下深入研读高斯的杰作《算术研究》。应狄利克雷的要求，他的母亲为他弄到了一本《算术研究》并于 1822 年 11 月寄到了巴黎（比勒菲尔德 G. 舒布林的通信）。毫无疑问，对高斯这部巨著的研究给狄利克雷留下了持久的印象，其重要性不亚于他的课程所留下的印象。我们知道狄利克雷一生中多次研读《算术研究》，我们可以有把握地认为他是第一位完全掌握这部独特著作的德国数学家。他从未把他的那本书放上书架，而是始终放在书桌上。萨托里乌斯·冯·瓦尔特斯豪森说，他像一些总是随身携带祈祷书的牧师一样，在所有旅行中都带着他的那本书。

经过一年专注于学习的隐居生活后，狄利克雷的外部生活在 1823 年夏天发生了根本性的变化。M.S. 富瓦将军（1775-1825）正在寻找一位家庭教师来教他的孩子德语语言和文学。将军是一位文化修养极高的杰出人物和著名的战争英雄，在法兰西共和国和拿破仑·波拿巴战争期间担任领导职务 20 年。他因谨慎避免不必要的重大损失而赢得了巨大的声望。1819 年，富瓦当选为众议院议员，他在那里领导反对派，并以最大的精力攻击多数派极端保皇和教权主义的政策，该多数派投票支持波旁王朝。通过拉尔谢·德·沙尔蒙——富瓦将军的老战友，也是狄利克雷父母的朋友——的好意帮助，狄利克雷被推荐给富瓦家族，并得到了这份薪水不错的工作，这样他就不再需要依赖父母的经济支持了。教学职责负担不大，给狄利克雷留下了足够的时间进行学习。此外，在狄利克雷的帮助下，富瓦夫人提高了她的德语水平，反过来，她也帮助他在说法语时摆脱了德国口音。狄利克雷被当作富瓦家庭的一员对待，在这个幸运的职位上感到非常自在。富瓦将军的家是法国首都许多名流的聚会点，这使得狄利克雷能够在社交举止中获得自信，这对他未来的生活具有重要意义。

狄利克雷很快结识了他的学术老师们。他第一篇具有学术性质的作品是翻译了柏林皇家科学院成员 J.A. 艾特尔魏因（1764-1848）关于流体动力学的论文。狄利克雷的老师阿歇特在 1823 年 5 月向巴黎的科学爱好者协会报告这项工作时使用了这个译本，并在《巴黎科学爱好者协会科学通报》1823 年，第 113-115 页上发表了评论。该译本于 1825 年印刷出版，狄利克雷于 1826 年将一份副本寄给了柏林科学院。

狄利克雷第一篇自己的科学著作题为《关于一些五次不定方程不可解性的研究》，立即为他赢得了高度的科学认可。这项工作与 1637 年的费马大定理密切相关，该定理声称方程 x^n+y^n=z^n 当 n≥3 是自然数时，不存在所有都不为零的整数解 x,y,z 。这个话题在当时在某种程度上被热议，因为法兰西科学院曾为这个猜想的证明设立了一个奖项；解决方案需要在 1818 年 1 月之前提交。事实上，我们知道威廉·奥伯斯（1758-1840）曾提请高斯注意这个奖项问题，希望高斯能获得该奖项—— 一枚价值 3000 法郎的金牌。当时，费马方程在非零整数中不可解仅对两个指数 n 得到了证明，即由费马本人证明了 n=4 ，由欧拉证明了 n=3 。由于只需证明 n=4 和所有奇素数 n=p≥3 的情形，问题对所有的素数 p≥5 都是悬而未决的。狄利克雷攻击了 p=5 的情形，并且从一开始更一般地考虑了方程 x^5±y^5=Az^5 在整数中的可解性问题，其中 A 是一个固定的整数。他证明了对许多特殊的  A 值，例如 A=4 和 A=16 ，这个方程在整数中没有非平凡解。对于费马方程本身，狄利克雷证明了对任何假设的非平凡本原整数解 x,y,z ，其中一个数必须能被 5 整除，并且在假设这个数还是偶数的情况下推导出了矛盾。“奇数情形”起初仍未解决。

狄利克雷将他的论文提交给法兰西科学院，并获准向科学院成员宣讲他的工作。这必须被认为是一个轰动性的事件，因为演讲者当时是一个 20 岁的德国学生，尚未发表过任何东西，甚至没有任何学位。狄利克雷于 1825 年 6 月 11 日进行了演讲，仅仅一周后，拉克鲁瓦和勒让德就对他的论文给出了非常有利的报告，以至于科学院决定将其印在《外国学者论文集》中。然而，预定的出版从未实现。狄利克雷本人在 1825 年印刷了他的作品，后来在克雷尔杂志的第三卷中以更详细的形式发表——幸运的是，该杂志恰好在 1826 年及时创刊。

此后，勒让德解决了前述的“奇数情形”，狄利克雷随后也用他的方法处理了这个情形。这完全解决了 n=5 的情形。在欧拉之后五十多年，狄利克雷对费马大定理做出了第一个重要贡献，这立即确立了他作为杰出数学家的声誉。七年后，他还证明了费马方程对于指数 14 没有非平凡整数解。（ n=7 的情形直到 1840 年才由 G. 拉梅（1795-1870）解决。）狄利克雷关于费马问题的工作的一个显著特点是，他的证明基于二次域中的考虑，即对 n=5 使用 Z[√5] ，对 n=14 使用 Z[√-7] 。他显然对这个问题进行了更多的思考，因为当 1843 年 E. 库默（1810-1893）给他一份声称包含费马大定理一般证明的手稿时，他表现出对该问题难度的深刻了解。狄利克雷退回手稿并评论说，如果库默不仅证明了在基础分圆域中任何整数可以分解为不可约元素的乘积，而且还证明了分解的唯一性，这确实会是一个有效的证明，然而，唯一性并不成立。在这里以及在高斯关于双二次剩余的第二部分中，我们看到了代数数论的开端。

在科学院的演讲使狄利克雷与几位著名的院士有了更密切的接触，特别是傅里叶和泊松，他们激起了他对数学物理的兴趣。与傅里叶的相识以及对其《热的解析理论》的研究，显然为他后来关于傅里叶级数的开创性工作提供了动力。

本文译自《Analytic Number Theory - A Tribute to Gauss and Dirichlet》（William Duke & Yuri Tschinkel 编著，AMS & Clay Math Ins 出版），“数学家”公众号翻译小组编译。