杀鸡用牛刀，想不到还能这样证明无理数？

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杀鸡用牛刀，想不到还能这样证明无理数？

原创  刘啸  刘啸说点啥  2026 年 1 月 14 日 08:57  上海

近期看到一道题：



求证它是无理数。

证明一个数是无理数一般用反证法，比如最著名的根号二的证明：

先假设 √2 是有理数，那么它就可以写成两个互质的正整数之比，即 √2 = p/q（其中 p、q 互质）。

接下来将这个等式两边平方，得到 2 = p^2/q^2 ，进而推导出 p^2 = 2q^2 。

这表明 p^2 是一个偶数，因此 p 本身也必须是偶数。

于是我们可以设 p = 2k ，代入原式得到 4k^2 = 2q^2 ，即 q^2 = 2k^2 。

这意味着 q^2 也是偶数，所以 q 同样是偶数。

但这样一来，p 和 q 就都是偶数，它们至少拥有公因数 2 ，这与我们最初“ p、q 互质”的假设产生了矛盾。

于是证明我们最初的假设（√2 是有理数）是错误的，结论只能是 √2 无法写成两个整数之比，因而是一个无理数。

其他非完全平方数的平方根的无理性证明一般也沿用这个思路，但如果把平方根换成立方根呢，或者更一般的，更高次方根呢？

虽然一般也是同样的思路，但好玩的特例是 2 。

针对2的高次方根，上面的问题就有一种杀鸡用牛刀的巧妙证明法。

为什么说“巧妙”？看完就知道了。

已知有：



要证其无理性，先同样假设它等于互素的整数之比 p/q 。

将这个等式两边 n 次方，得到：

             2 = p^n/q^n  ，2q^n = p^n 。

也即：
            
               q^n + q^n = p^n 。

其中 p 、q 、n 均为正整数，且 n>2 。

到这里，聪明的读者已经在看手机屏幕边缘了，心里嘀咕：这里的空隙是不是太小了？

没错，你肯定已经想起了费马大定理，当 n>2 时：

             x^n + y^n = z^n

没有正整数解。

所以原式不成立，反证法得证。

就这么简单且牛。

当年费马说：

“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信我发现一种美妙的证法，可惜这里的空白处太小，写不下。”

而且后面无论再给他多大的空白，他都没写了。

但不影响这里用牛刀来杀这只小鸡。

当然，严格来说，如果是 1995 年以前，上面这题你这么证，是错误的。

因为那时候，费马大定理还只是费马大猜想。

欧拉在 1770 年的时候，证明 n=3 时定理成立。1825 年，高斯和热尔曼同时独立证明费马大定理 5 次幂。虽然在费马大定理提出之后的二百年内，对很多不同的特定的 n ，费马大定理被证明。但对于一般情况，一直没太好的办法。

一直到 1995 年，安德鲁·怀尔斯在众多前人努力的基础上，利用现代数论工具，建立了谷山-志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）的一个关键特例，该猜想连接了椭圆曲线（ Frey 曲线）与模形式。简而言之，他和伙伴们证明了谷山-志村猜想，又证明了如果费马大定理是错的，那就会与谷山-志村猜想矛盾，从而间接证明了费马大定理。

那时候的你，试卷上的确没有空白来写下这一百多页的证明。

而现在，可以不用写了，直接使用费马大定理即可，老师会给分的。

刘啸说点啥