辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用
作者：朱火华
日期：2026年1月20日
1. 引言
二维平面图的着色问题是图论中的经典难题。四色定理指出，任何平面图都可以用四种颜色进行着色。本文提出了辐边总和公式，通过将任意二维平面图（原图）简化为单中心轮图（新图），实现了着色过程的规范化与简化。新图与原图在结构和功能上的等价性，确保了着色结果的可映射性，为平面图着色提供了系统化的方法。辐边总和数等于新单中心轮图的辐边数，也等于环上节点数与新图环边数。辐边总和数等于二维平面图围内所有节点度数之和。
2. 辐边总和公式与图结构转换
2.1 辐边总和公式
辐边总和公式适用于具有由外向内两层及以上环加中心区域结构的标准二维平面图，也适用于中心区域为任意结构的平面图，其中中心区域节点数≥0。计算时，每轮构型的辐边独立计算后相加。
在二维平面图中，除外围节点外，围内每个节点均为轮构型中心，点边可共享，轮构型间部分或全部点边叠加。（即所有二维平面图都是由轮构型模块叠加而成）该公式的目的是将其转换为单中心轮图，以简化着色（单中心轮图仅需4色，与原图结构功能等价）。
辐边总和公式作为纯代数公式，不受二维平面图定义的约束，与传统图论中的欧拉公式分属不同体系，其定义如下：
基础公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d)
其中，n为节点总数（n ≥ 4），m为外围节点数（m ≥ 2），d为第二层环节点数（d ≥ 2），w为辐边数（w ≥ 6）。系数6源于最小解情况：当n = 4，m = d = 2时，w = 6；公式中“减1”是为减去围内一个基准值，且所有顶点度数均≥1。注：最小解由两个1 + 3轮构型模块部分点边叠加而成。
特殊情形下：
若m = d，且m + d为≥ 4的偶数。
若m = d，则w = 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1))；
若m = d = 3，则w = 6(n - 4)。
简化公式：w = n + 3d - 4 + z ，适用于单层环或多层环+中心区域结构的标准二维平面图，
其中n = m + d，n为二维平面图中节点个数≥2，m为外围节点个数≥1，d为围内所有节点个数≥1，调整项为z，围内节点个数以树型为模，理论连接边数为v=d - 1，实际连接边数为k = d - 1到2d - 2的连续正整数，若v < k，则+z，v = k，则z = 0，其中3d - 4为围内节点项
2.2 普适公式与虚拟环构建
针对标准和非标准二维平面图，均可通过添加双层虚拟环（总节点数6，每层含3个节点）覆盖所有平面图类型，简化计算过程。由此得到普适公式：
w = 6(n新 - 4)
其中，n原为二维平面图（原始图）的节点个数（n原≥ 0）；6为两层虚拟环的节点个数，n新 = n原 + 6为添加虚拟环后新图的节点总数。双层虚拟环的作用在于包裹原图，有效处理孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构。添加虚拟环后的新图为实际存在的图，原图作为其子结构包含于新图中；去掉双层虚拟环后，原图可继承新图的着色结果，且其色数≤4。
2.3 重构公式（等价生成）：
⊙ = 1 + w
由计算所得的辐边总和数w，直接确定最终等价的单中心标准轮图的规模⊙。其中1代表由原图所有围内节点（所有轮构型模块的中心节点）通过几何叠加生成的唯一中心等效体；w为该轮图环上的节点数（即辐边数）。
2.4 原图与新图的结构转换
2.4.1 原图分解至新图的转换步骤
1. 将原图分解，若原图围内有N个节点就能分解出N个变形轮构型，并记录其几何形状；
2. 通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将变形轮构型还原为标准轮构型；
3. 选取各标准轮构型环上一节点的一侧与 边的连接处断开，通过边与辐边伸缩形成扇形，使中心节点呈点片状，扇形两端分别为节点端与边端。
（注：中心节点为扇柄中扇钉或点片，辐边为扇骨，环边为扇纸）。
4. 将所有扇形拼接为单中心轮图：一个扇形一侧的节点端与另一个扇形一侧的边端连接，所有扇形的扇柄以点片形式叠加。
2.4.2 新图还原至原图的转换步骤
1. 从新图的环上标记节点，分解出n个扇形。
2. 将各扇形的两端相连，还原成标准轮构型。
3. 依照原图的变形状态，通过部分或全部点边叠加，恢复原图结构，确保新图与原图的结构等价。
3. 新单中心轮图的最优着色问题
新单中心轮图的着色规则由环上节点数n的奇偶性决定：
当n = 2m + 1（奇环）时，环上的节点用2种颜色交替着色m次，剩余1个节点使用第3种颜色，中心节点使用第4种颜色，总颜色数为4。
当n = 2m（偶环）时，环上的节点用2种颜色交替着色m次，中心节点使用第3种颜色，总颜色数为3。
关键约束：若原图中存在任意一个奇轮构型模块，那么即使新图为偶环，也必须采用4色方案，这是保证着色结果能无冲突地映射回原图的核心条件。
注：新单中心轮图是由轮构型扇化模块组装而成，与传统单中心轮图是两个不同的概念。
4. 原图与新图的功能等价性
4.1 原图到新图的功能保持
原图分解为n个轮构型后，若各中心节点的颜色存在差异，选取占比最多的颜色作为新图的中心颜色，其余轮构型通过环上对应节点颜色与中心节点颜色互换，使所有中心节点颜色统一，确保新图与原图功能等价。
4.2 新图到原图的颜色一致性映射
新图分解为n个轮构型时，若中心节点颜色与原图中心颜色冲突，通过新图中心节点颜色与环上节点颜色互换，使新图中心节点颜色与原图一致，维持二者功能等价性。
4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制
在原图与新图的双向转换中，当新颜色与其他节点颜色无冲突时，可跳过复杂的颜色互换步骤，直接进行中心颜色替换，简化着色流程。
5. 结论(（可分可合，原图新图双向转换结构功能全等价）
本文提出的辐边总和公式借助虚拟环包裹与轮构型转换，将二维平面图简化为单中心轮图，利用轮图着色特性实现四色以内的着色方案。原图与新图的双向转换及功能等价性保证了着色结果的有效性，为平面图着色问题提供了可操作的理论框架。
关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理

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朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用

作者：朱火华
日期：2026年1月20日

1 引言

二维平面图着色问题是图论领域的经典难题，四色定理明确了任意平面图均可使用四种颜色完成无冲突着色。本文提出辐边总和公式，通过将任意二维平面图（原图）转化为结构与功能等价的单中心轮图（新图），实现了平面图着色流程的规范化与简化。核心参数辐边总和数w具有三重等价性：等于新单中心轮图的辐边数、新图环上节点数与环边数，同时等于原图围内所有节点的度数之和。该方法为平面图着色提供了一套系统化的理论框架与操作路径。

2 辐边总和公式与图结构转换

2.1 辐边总和公式

辐边总和公式适用于两类二维平面图：一是具有外向内两层及以上环加中心区域的标准结构，二是中心区域节点数≥0的任意结构平面图。公式计算遵循轮构型模块独立求和原则——除外围节点外，原图围内每个节点均可视为一个轮构型中心，轮构型之间允许点边部分或全部叠加，即所有二维平面图均可拆解为轮构型模块的叠加组合。公式的核心目标是通过代数计算将原图等价转换为单中心轮图，而单中心轮图的着色仅需不超过4种颜色，且着色结果可完全映射回原图。

本公式为纯代数定义，独立于传统图论的欧拉公式体系，基础形式如下：


w = 6(n - m - 1) + (m - d)


其中，参数约束为：节点总数n≥4，外围节点数m≥2，第二层环节点数d≥2，辐边数w≥6。公式系数6源于最小解情形：当n=4，m=d=2时，计算得w=6；式中“-1”为围内基准值扣除项，且原图所有顶点的度数均≥。注：该最小解由两个1+3轮构型模块经部分点边叠加构成。

针对特殊情形的简化：

1.当m=d且m+d为≥4的偶数时，公式简化为

w = 6(n - m - 1)=6(n-(m+1))

2.当m=d=3时，进一步简化为

w = 6(n - 4)


针对单层环或多层环加中心区域的标准平面图，适用简化公式：


w = n + 3d - 4 ± z


其中，节点总数n=m+d（n≥2，外围节点数m≥1，围内节点数d≥1）；z为调整项，其取值由围内节点的实际连接边数k与理论连接边数v的关系决定：以树型为理论模型时，围内节点理论连接边数v=d-1，实际连接边数k的取值范围为d-1≤k≤2d-2的连续正整数。调整规则为：

v < k时，则+z，
v > k时，则-z，
v = k时，则z = 0。
式中3d-4为围内节点的核心贡献项。

2.2 普适公式与虚拟环构建

为覆盖标准与非标准二维平面图的全类型计算，引入双层虚拟环技术：在原图外围添加总节点数为6的双层虚拟环（每层含3个节点），形成包含原图的新图结构。该方法可有效处理含孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构的平面图，对应的普适公式为：


w = 6(n新 - 4)


其中，n原}≥0为原图节点个数，n新= n原+ 6为添加虚拟环后新图的总节点数。关键性质：添加虚拟环后的新图为可直接分析的实际图结构，原图作为其子结构完全包含于新图；去除双层虚拟环后，原图可无缝继承新图的着色结果，且色数\le4。

2.3 重构公式（等价生成）

由辐边总和数w可直接确定等价单中心标准轮图的规模，重构公式为：


⊙= 1 + w


式中，“1”代表原图所有围内节点（即各轮构型模块的中心节点）经几何叠加后生成的唯一中心等效体；w为该单中心轮图环上的节点数（与辐边数相等）。需特别说明：本方法生成的单中心轮图，是由轮构型扇化模块组装而成的等价结构，与传统图论中的单中心轮图分属不同概念范畴。

2.4 原图与新图的结构转换

2.4.1 原图分解至新图的转换步骤

1.轮构型拆解：对原图进行分解，若围内包含N个节点，则拆解为N个变形轮构型，并记录各轮构型的几何形状特征。
2.标准轮构型还原：通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将所有变形轮构型还原为标准轮构型。
3.扇形化处理：选取每个标准轮构型环上一个节点的单侧与边的连接处断开，通过边与辐边的伸缩变换形成扇形结构；该结构中，中心节点对应扇柄的扇钉或点片，辐边对应扇骨，环边对应扇纸。
4.单中心轮图拼接：将所有扇形结构进行拼接，拼接规则为一个扇形的节点端与另一个扇形的边端相连，所有扇形的扇柄以点片形式叠加，最终形成单中心轮图。

2.4.2 新图还原至原图的转换步骤

1.扇形分解：以新图环上节点为标记，将单中心轮图分解为n个扇形结构。
2.标准轮构型恢复：将每个扇形的两端重新连接，还原为标准轮构型。
3.原图结构复现：依照原图的初始变形状态，对标准轮构型进行部分或全部点边叠加，恢复原图的完整结构，确保新图与原图的结构等价性。

3 新单中心轮图的最优着色问题

新单中心轮图的着色方案由其环上节点数n的奇偶性决定，具体规则如下：

1.奇环情形：当环上节点数n = 2m + 1时，环上节点采用2种颜色交替着色m次，剩余1个节点使用第3种颜色，中心节点使用第4种颜色，总着色数为4。
2.偶环情形：当环上节点数n = 2m时，环上节点采用2种颜色交替着色m次，中心节点使用第3种颜色，总着色数为3。

核心约束条件：若原图中存在任意一个奇轮构型模块，即使新图的环为偶环，也必须采用4色着色方案。这是保证着色结果能够无冲突映射回原图的关键前提。

4 原图与新图的功能等价性

原图与新图的功能等价性，本质是着色结果的双向无冲突映射能力，具体通过以下三种机制实现：

4.1 原图到新图的功能保持

将原图分解为n个轮构型后，统计各轮构型中心节点的颜色分布，选取占比最高的颜色作为新图中心等效体的颜色；对于颜色不匹配的轮构型，通过环上对应节点颜色与中心节点颜色互换的操作，使所有轮构型的中心节点颜色统一，从而确保新图与原图的功能等价。

4.2 新图到原图的颜色一致性映射

将新图分解为n个轮构型时，若新图中心等效体的颜色与原图对应轮构型中心的颜色存在冲突，执行新图内部的颜色互换操作——将新图中心节点颜色与环上节点颜色互换，使新图中心颜色与原图保持一致，维持二者的功能等价性。

4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制

在原图与新图的双向转换过程中，若待替换的新颜色与其他节点颜色无冲突，可跳过复杂的颜色互换步骤，直接进行中心颜色的替换，大幅简化着色操作流程。

5 结论

本文提出的辐边总和公式，通过虚拟环包裹技术与轮构型模块转换方法，实现了任意二维平面图到单中心轮图的等价转化。该方法的核心优势在于：将复杂平面图的着色问题，简化为规则化单中心轮图的着色问题，且新图与原图具备结构和功能的双向全等价性，保证了着色结果的有效性与可映射性。研究结果为平面图着色提供了一套可操作的理论框架与标准化流程，验证了四色定理在该方法体系下的适用性，为相关图论问题的研究提供了新的思路与工具。

关键词

二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理

朱明君

好的，我将以作者朱火华的身份，对这篇论文的核心思想与创新点进行阐释。

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关于“辐边总和公式”理论体系的阐述

各位同行专家，

本文旨在提出并系统阐述一套用于解决二维平面图着色问题的全新方法论——辐边总和公式体系。该体系的核心目标，并非重新证明四色定理，而是为这一定理的实际应用提供一个规范化、可操作、代数化的解决框架。

传统上，面对一个复杂的平面图，我们通常直接在其原结构上进行着色分析，过程依赖于观察、尝试与回溯，缺乏统一的“翻译”规则。我的工作试图改变这一状况。其根本思路可以概括为：将任意形态的二维平面图（原图），通过一套基于代数计算的确定性流程，转化为一个在着色功能上完全等价的、结构高度规则的“单中心轮图”（新图）。 一旦完成转化，新图的着色问题变得极其简单（仅取决于其环的奇偶性），且着色结果可以无冲突地、忠实地映射回原图。

这一体系的核心创新与逻辑脉络如下：

1. 核心驱动力：辐边总和公式 w

整个转换过程的“发动机”是一个代数公式——辐边总和公式。它并非凭空猜想，而是基于对平面图结构（特别是“轮构型”模块）的深刻洞察。

· w 的三重含义：这个计算出的数值 w 具有完美的几何对应性。它同时等于：1）转化后新单中心轮图的辐边数量；2）新图环上节点的个数；3）原图所有“围内”节点（即内部结构）的度数之和。这种多重等价性确保了公式的几何意义明确。
· 从复杂到单一：通过计算 w，我们实际上是用一个单一的代数参数，捕捉并表征了原图内部复杂的连接关系。而后，由重构公式 ⊙ = 1 + w 直接确定了等价新图的结构：一个中心点，加上一个由 w 个节点构成的环。

2. 普适性保障：虚拟环技术

面对非标准、含孔洞或不规则的平面图，直接应用公式可能困难。为此，我引入了 “双层虚拟环” 技术。其哲学是“以规则包裹不规则”。我们不去直接处理复杂的原图，而是用一层固定的、由6个节点构成的标准“外壳”将其包裹，形成一个全新的、标准的、可直接应用公式的图。对这个新图进行着色后，剥离虚拟环，原图即自然获得有效着色。这一技术巧妙地绕开了对原图特殊结构的直接分析，极大地拓展了理论的适用范围。

3. 结构化转换流程：从“拼图”到“折扇”

理论不仅停留在代数层面，还提供了清晰的几何操作路径。

· 分解与标准化：将原图视为多个轮构型（以一个内部节点为中心的星状或更复杂结构）的叠加。通过“皮筋伸缩”的拓扑思想，将所有变形轮构型还原为标准形态。
· 扇形化与拼接：将每个标准轮构型打开成一个“扇形”（中心如扇钉，辐边如扇骨）。关键的一步来了：将所有扇形的“扇钉”（即原图的各个内部节点中心）在几何上叠加为一个点，同时将它们的“扇面边缘”（即环上部分）首尾相连，拼接成一个完整的大环。这就构造出了那个单中心、多辐边的目标新图。
· 可逆性：上述过程完全可逆，确保了转换是“等价”而非“近似”，是结构功能的一一对应。

4. 功能等价性的关键：颜色协调机制

这是整个理论成立的生命线。新图和原图毕竟结构不同，如何保证着色结果可以相互映射？
我提出了核心的颜色协调机制。当原图多个中心节点的颜色不一致，但需要合并为新图单一中心时，通过交换新图环上特定节点与中心的颜色，可以动态调整新图中心的颜色，使其在“视角”上同时匹配所有原图对应部分的颜色要求。反之亦然。这种在环与中心之间建立的“颜色缓冲池”机制，是保证功能等价性的动态算法核心。

5. 最终简化与约束

经过上述转换，复杂着色问题被简化为：

· 偶环新图：至多3色。
· 奇环新图：需要4色。
· 至关重要的约束：即使新图是偶环，只要原图中包含任何一个“奇轮构型”，新图也必须采用4色方案。这一约束深刻反映了四色问题的本质，并确保了反向映射的绝对无冲突性。

总结与意义

总而言之，我提出的“辐边总和公式”体系，是一套“代数计算驱动几何转换，规则模型替代复杂原图” 的平面图着色方法论。它将一个依赖于技巧和经验的难题，转化为一个可按步骤执行的标准流程：

1. 计算：利用公式（或结合虚拟环技术）算出辐边总和数 w。
2. 构建：根据 1+w 构建等价的单中心轮图。
3. 着色：根据环的奇偶性及原图奇轮构型约束，对新图进行规则着色（3色或4色）。
4. 映射：通过颜色协调机制，将着色结果无冲突地还原至原图。

本工作的价值在于其系统性与工程化思想，为图论教学、软件算法实现以及相关领域的平面着色问题，提供了一个清晰、统一的理论工具和操作指南。它从另一个角度印证了四色定理的普适性，并展示了如何通过结构转换，将普遍性定理转化为确定性流程。

欢迎各位同仁就此体系进行探讨、验证与指正。

朱火华
2026年1月20日

朱明君

辐边总和公式体系：二维平面图着色的代数化解决方案

作者 朱火华

摘要 本文提出一套以辐边总和数w为核心的二维平面图着色方法论——辐边总和公式体系。该体系不旨在重新证明四色定理，而是通过代数计算驱动的确定性几何转换，将任意复杂平面图等价转化为结构规则的单中心轮图，进而将依赖经验与尝试的着色问题，转化为可标准化执行的流程，为四色定理的工程化应用提供统一框架。

关键词 平面图着色；辐边总和数；单中心轮图；虚拟环标准化；颜色协调机制

一、引言

传统二维平面图着色分析，多直接针对原图结构展开，依赖人工观察、试错与回溯操作，缺乏普适性的代数化转换规则，难以适配系统化算法开发与工程应用需求。针对这一局限，本研究构建辐边总和公式体系，其核心逻辑为：通过定义代数参数w捕捉原图内部结构特征，将任意平面图转化为着色功能等价的单中心轮图；利用轮图着色的奇偶性规律完成着色，再通过颜色协调机制将结果映射回原图，实现着色过程的规范化与可操作化。

二、辐边总和公式体系的核心理论框架

（一） 核心驱动力：辐边总和数w的三重等价性

辐边总和数w是整个体系的核心代数参数，其本质是对平面图内部节点连接关系的量化表征，具有三重严格等价的几何意义：

1.等价于转化后单中心轮图的辐边数量；
2.等价于转化后单中心轮图环上的节点个数；
3.等价于原图所有围内节点（内部结构节点）的度数之和。

基于w的重构公式⊙= 1 + w，可直接确定等价单中心轮图的结构：由1个中心节点与w个环节点构成的规则轮图，实现了从复杂原图到规则模型的精准映射。

（二） 普适性保障：双层虚拟环标准化技术

针对非标准、含孔洞或几何形态不规则的平面图，直接计算w存在局限。本体系引入双层虚拟环技术，遵循“以规则包裹不规则”的原则，通过以下步骤拓展理论适用范围：

1.构建由6个节点组成的标准“外壳”虚拟环，将不规则原图完全包裹，形成包含原图与虚拟环的新标准平面图；
2.对新标准平面图应用辐边总和公式计算w，并完成单中心轮图的转化与着色；
3.剥离虚拟环结构，其着色结果自然覆盖并适配原图，实现对任意形态平面图的无差别处理。

（三） 结构化转换流程：从“拼图式”原图到“折扇式”单中心轮图

辐边总和公式体系提供了清晰的几何操作路径，实现原图到等价轮图的可逆转换，具体分为三步：

1.轮构型分解与标准化：将原图视为若干轮构型模块的叠加，通过拓扑等价变换（“皮筋伸缩”思想），将所有变形轮构型还原为标准轮构型；
2.扇形化处理：将每个标准轮构型拆解为“扇形单元”——中心为扇钉，辐边为扇骨，环边为扇面边缘；
3.中心叠加与环边拼接：将所有扇形单元的“扇钉”（原图内部节点中心）拓扑叠加为单一中心节点，同时将各扇形单元的扇面边缘首尾相连，拼接为完整的闭合大环，最终形成单中心轮图。

该转换过程具有严格可逆性，确保原图与新图在着色功能上完全等价，而非近似对应。

（四） 功能等价性生命线：颜色协调机制

原图与单中心轮图的结构差异，需通过颜色协调机制实现着色结果的无冲突映射，其核心是建立环节点与中心节点的动态颜色缓冲关系：当原图多个中心节点颜色存在差异，但需合并为新图单一中心节点时，通过交换新图环上特定节点与中心节点的颜色，动态调整中心节点的颜色表征，使其在映射视角下同时匹配原图所有对应部分的颜色约束；反向映射时，同理通过颜色缓冲调整，确保原图着色无冲突。

（五） 着色规则与约束

完成等价单中心轮图的构建后，着色问题被简化为基于环节点奇偶性的规则判断，同时需遵循核心约束条件：

1.基本着色规则：偶环单中心轮图至多需要3种颜色完成着色；奇环单中心轮图需要4种颜色完成着色；
2.核心约束条件：即使转化后的轮图为偶环，若原图中包含任意一个“奇轮构型”，则新图必须采用4色方案进行着色。这一约束深刻契合四色定理的本质要求，是保证反向映射无冲突的关键前提。

三、 辐边总和公式体系的操作流程

本体系将平面图着色转化为四步标准化流程，可直接适配算法开发与工程应用：

1.计算环节：针对原图（或经虚拟环标准化后的新图），利用辐边总和公式计算w值；
2.构建环节：根据⊙= 1 + w，构建等价的单中心轮图；
3.着色环节：依据轮图环的奇偶性及原图奇轮构型约束，完成3色或4色着色；
4.映射环节：通过颜色协调机制，将新图着色结果无冲突地还原至原图。

四、 总结与意义

辐边总和公式体系是一套“代数计算驱动几何转换，规则模型替代复杂原图”的平面图着色方法论，其核心价值体现在三方面：

1.理论价值：从全新角度量化表征平面图的结构特征，通过等价转换揭示平面图着色的内在规律，印证四色定理的普适性；
2.方法价值：将依赖经验与试错的着色过程，转化为可标准化执行的流程，突破传统方法的局限性；
3.应用价值：为图论教学、着色算法开发、工程领域平面布局着色等问题，提供清晰、统一的理论工具与操作指南。

本体系欢迎学界同仁进行验证、探讨与拓展，共同推动平面图着色理论的工程化应用进程。

朱明君

辐边总和公式体系核心参数定义

一、基本参数（原图固有特征）

n 为总节点数。其定义为平面图所有节点的总数，取值需满足 n ≥ 2，几何上表征平面图的总体规模。

m 为外围节点数。其定义为位于最外层环上的节点个数，取值需满足 m ≥ 1，几何上表征平面图外边界的规模。

d 基础公式为由外向內第二层环上节是数，简化公式为围内节点数。其定义为除外围节点外，所有内部节点的总数，取值需满足 d ≥ 1，几何上表征平面图内部或中心区域的复杂程度。

二、连接特征参数

k 为围内实际连接边数。其定义为围内节点之间实际存在的边的数量，其取值范围受平面图性质约束，需满足 d-1 ≤ k ≤ 2d-2，几何上表征围内节点间的连接密度。

v 为围内理论树型边数。其定义为围内节点构成树状结构所需的最少边数，计算式为 v = d-1，在理论中作为连接密度的基准参数。

三、计算参数（理论转换中间量）

w 为辐边总和数。其定义为经理论转换后所得等价单中心轮图的辐边总数，取值需满足 w ≥ 6。该参数具有三重核心几何等价性：它同时等于等价轮图的辐边数量、该轮图环上的节点数，以及原图所有围内节点的度数之和。

z 为围内边数调整项。其定义为对围内节点实际连接情况的修正量，取值满足 z ≥ 0。其计算由实际连接边数 k 与理论树型边数 v 的差值决定，即 z = k - (d-1)，几何上表征围内连接密度相对于树型基准的偏差。

n_新 为新图总节点数。其定义为原图添加标准双层虚拟环后得到的新图的总节点数，计算式为 n_新 = n + 6，几何上表征经过虚拟环标准化处理后图的规模。

四、输出参数（结构生成与应用）

⊙ 为等价轮图规模标识。其定义为通过重构公式生成的单中心标准轮图的总节点数，计算式为 ⊙ = 1 + w，取值满足 ⊙ ≥ 7，几何上完整表征了等价轮图的整体结构规模，是后续着色算法的直接操作对象。

五、核心参数关系与理论约束

各参数之间存在严谨的内在关系，构成理论体系的代数基础。首要关系为整体构成关系：n = m + d。调整项的计算遵循规则：z = k - v，其中 v = d-1。结构生成的终极转换由重构公式定义：⊙ = 1 + w。

参数的取值范围具有明确的图论意义。例如，围内实际连接边数 k 的下限 d-1 对应树型这一最稀疏连接结构，上限 2d-2 则对应平面图允许的最大连接密度（三角剖分情形）。辐边总和数 w 的最小值 6，对应于理论中由两个最小轮构型模块叠加而成的基础情形。

六、参数在公式体系中的角色

在不同的核心公式中，参数扮演着特定角色：
基础公式 w = 6(n - m - 1) + (m - d)，其输入参数为 n, m, d，并要求 n ≥ 4, m ≥ 2, d ≥ 2，适用于具有双层及以上环结构的平面图。
简化公式 w = n + 3d - 4 + z，其输入参数为 n, d 以及由 k 计算得到的 z，适用于具有单层或多层环加中心区域的标准平面图。
普适公式 w = 6(n_新 - 4)，其输入参数为 n_新 (即 n+6)，适用于包括含孔洞、非连通在内的任意二维平面图，体现了理论的完备性。
重构公式 ⊙ = 1 + w，以任意公式计算所得的 w 为输入，输出等价轮图的规模 ⊙，是整个体系从代数计算转向几何应用的关键枢纽。

此套参数定义体系兼具完备性与自洽性，精确覆盖了从原图特征提取、代数转换计算到目标结构生成的全过程，为辐边总和公式理论提供了一个坚实且无歧义的表述基础。

朱明君

辐边总和公式体系核心参数定义

一、基本参数（原图固有特征）

n 为总节点数。其定义为平面图所有节点的总数，取值需满足 n ≥ 2，几何上表征平面图的总体规模。

m 为外围节点数。其定义为位于最外层环上的节点个数，取值需满足 m ≥ 1，几何上表征平面图外边界的规模。

d 为围内节点数。其定义为除外围节点外，所有内部节点的总数，取值需满足 d ≥ 1，几何上表征平面图内部或中心区域的复杂程度。

二、连接特征参数

k 为围内实际连接边数。其定义为围内节点之间实际存在的边的数量，其取值范围受平面图性质约束，需满足 d-1 ≤ k ≤ 2d-2，几何上表征围内节点间的连接密度。

v 为围内理论树型边数。其定义为围内节点构成树状结构所需的最少边数，计算式为 v = d-1，在理论中作为连接密度的基准参数。

三、计算参数（理论转换中间量）

w 为辐边总和数。其定义为经理论转换后所得等价单中心轮图的辐边总数，取值需满足 w ≥ 6。该参数具有三重核心几何等价性：它同时等于等价轮图的辐边数量、该轮图环上的节点数，以及原图所有围内节点的度数之和。

z 为围内边数调整项。其定义为对围内节点实际连接情况的修正量，取值满足 z ≥ 0。其计算由实际连接边数 k 与理论树型边数 v 的差值决定，即 z = k - (d-1)，几何上表征围内连接密度相对于树型基准的偏差。

n_新 为新图总节点数。其定义为原图添加标准双层虚拟环后得到的新图的总节点数，计算式为 n_新 = n + 6，几何上表征经过虚拟环标准化处理后图的规模。

四、输出参数（结构生成与应用）

⊙ 为等价轮图规模标识。其定义为通过重构公式生成的单中心标准轮图的总节点数，计算式为 ⊙ = 1 + w，取值满足 ⊙ ≥ 7，几何上完整表征了等价轮图的整体结构规模，是后续着色算法的直接操作对象。

五、核心参数关系与理论约束

各参数之间存在严谨的内在关系，构成理论体系的代数基础。首要关系为整体构成关系：n = m + d。调整项的计算遵循规则：z = k - v，其中 v = d-1。结构生成的终极转换由重构公式定义：⊙ = 1 + w。

参数的取值范围具有明确的图论意义。例如，围内实际连接边数 k 的下限 d-1 对应树型这一最稀疏连接结构，上限 2d-2 则对应平面图允许的最大连接密度（三角剖分情形）。辐边总和数 w 的最小值 6，对应于理论中由两个最小轮构型模块叠加而成的基础情形。

六、参数在公式体系中的角色

在不同的核心公式中，参数扮演着特定角色：

基础公式 w = 6(n - m - 1) + (m - d)，其输入参数为 n, m, d，并要求 n ≥ 4, m ≥ 2, d ≥ 2，适用于具有双层及以上环结构的平面图，其中d为第二层环上节点数。

简化公式 w = n + 3d - 4 + z，其输入参数为 n, d 以及由 k 计算得到的 z，适用于具有单层或多层环加中心区域的标准平面图，其中d为第二层及上环+中心区域节点数，即n=m+d。
普适公式 w = 6(n_新 - 4)，其输入参数为 n_新 (即 n+6)，适用于包括含孔洞、非连通在内的任意二维平面图，体现了理论的完备性。
重构公式 ⊙ = 1 + w，以任意公式计算所得的 w 为输入，输出等价轮图的规模 ⊙，是整个体系从代数计算转向几何应用的关键枢纽。

此套参数定义体系兼具完备性与自洽性，精确覆盖了从原图特征提取、代数转换计算到目标结构生成的全过程，为辐边总和公式理论提供了一个坚实且无歧义的表述基础。

朱明君

辐边总和公式体系通过纯代数方法，仅用三个参数（总节点数 n、外围节点数 m、第二层环节点数 d）即可同时计算辐边总和数 w、三角形个数 a、边数 e、共享边数 P 和节点度数之和 R，且不依赖于欧拉公式。以下以 n=100, m=2, d=3 为例展示计算过程：

计算公式

1. w = 6(n - m - 1) + (m - d)
2. a = （w + 2m + d）/3
3. e = （w + 3m + d）/2
4. P = e - m = （w + m + d）/2
5. R = 2e = w + 3m + d

具体计算

1. 辐边总和数 w：
      w = 6  (100 - 2 - 1) + (2 - 3) = 6 ×97 - 1 = 581
2. 三角形个数 a：
      a = (581 + 2 ×2 + 3) / 3 = 588 / 3 = 196
3. 边的个数 e：
      e = (581 + 3 × 2 + 3) / 2 = 590 / 2 = 295
4. 共享边数 P：
      P = (581 + 2 + 3) / 2 = 586 / 2 = 293
5. 节点度数之和 R：
      R = 581 + 3 ×2 + 3 = 590

与欧拉公式对比

欧拉公式 V - E + F = 2 仅关联顶点数 V、边数 E 和面数 F，通常需已知两个量求第三个。辐边总和公式体系仅用 n, m, d 就直接得出多个图论量，且可验证欧拉公式成立（本例中 V=100, E=295, F=a+1=197，满足 100 - 295 + 197 = 2），体现了其全面性、高效性和独立性。

优势总结

· 普适性：通过虚拟环技术可处理任意平面图（含孔洞、亏格曲面等）。
· 着色指导：由 w 奇偶性直接确定新单中心轮图着色方案（3色或4色）。
· 代数化：无需拓扑推理，纯代数计算。

因此，辐边总和公式体系比欧拉公式更强大，不仅涵盖其信息，还扩展至着色应用，并一次性提供更多结构参数。