1946 年西南联大试题：半圆直径 AB，半圆弦 AC,BD 交于 E，求证：AC×AE+BD×BE=AB^2

dodonaomikiki

感觉好像比较经典！

dodonaomikiki

附加：
西南联大学子在简陋图书馆里自习
向这些老前辈学习！
其精神永远鼓励人前进尤其在当今社会！

luyuanhong

simpley

AE*AC=AE^2+AE*EC
BD*DE=BE^2+DE*BE
因为AE*EC=DE*BE
所以，AE*AC+BD*DE=AE^2+BE^2+2DE*BE=AE^2+(BE+DE)^2-DE^2
=AE^2+BD^2-DE^2=AE^2+AB^2-AD^2-DE^2
因为AE^2=AD^2+DE^2
所以消去后等AB^2

dodonaomikiki

对simpley老师的解答，整备一哈！


\(
AE*AC=AE^2+AE*EC             \\
BD*DE=BE^2+DE*BE          \\
因为大家都知道嘛：AE*EC=DE*BE  ......【相交弦定理】        \\
\Longrightarrow    AE*AC+BD*DE         \\
=AE^2+BE^2+2DE*BE         \\
=AE^2+(BE+DE)^2-DE^2          \\
=AE^2+BD^2-DE^2
=AE^2+AB^2-AD^2-DE^2          \\
我们尚且有知道：  AE^2=AD^2+DE^2          \\
\Longrightarrow     AE*AC+BD*DE=AD^2+DE^2+AB^2-AD^2-DE^2          \\
=AB^2           \\
Finn     \)

luyuanhong

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