辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用(完整版)

朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用(完整版)

作者：朱火华

日期：2026年1月23日

1. 引言

二维平面图的着色问题是图论中的经典难题。四色定理表明，任何平面图都能够用四种颜色进行着色。本文提出了辐边总和公式，通过把任意二维平面图（原图）简化为单中心轮图（新图），实现了着色过程的规范化与简便化。新图与原图在结构和功能上具有等价性，这确保了着色结果的可映射性，为平面图着色提供了系统化的方法。辐边总和数等于新单中心轮图的辐边数，也等同于环上节点数与新图环边数，辐边总和数等于二维平面图围内所有节点度数之和。



2. 辐边总和公式与图结构转换



2.1 辐边总和公式的三维代数构造范式



辐边总和公式适用于具有由外向内两层及以上环加中心区域结构的标准二维平面图，也适用于中心区域为任意结构的平面图，其中中心区域节点数≥0。计算时，每轮构型的辐边独立计算后再相加。

在二维平面图中，除外围节点外，围内每个节点均为轮构型中心，点边可共享，轮构型间部分或全部点边会叠加。（即所有二维平面图都是由轮构型模块叠加而成）该公式的目的是将其转换为单中心轮图，以简化着色（单中心轮图仅需4色，与原图结构功能等价）。

辐边总和公式作为纯代数公式，不受二维平面图定义的限制，与传统图论中的欧拉公式分属不同体系，其定义如下：



一、基础公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d)

其中，n为节点总数（n ≥ 4），m为外围节点数（m ≥ 2），d为第二层环节点数（d ≥ 2），w为辐边数（w ≥ 6）。系数6源于最小解情况：当n = 4，m = d = 2时，w = 6；公式中“减1”是为减去围内一个基准值，且所有顶点度数均≥1。注：最小解由两个1 + 3轮构型模块部分点边叠加而成。

特殊情形下：

若m = d，且m + d为≥ 4的偶数。

若m = d，则w = 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1))；

若m = d = 3，则w = 6(n - 4)。

注：两节点环內若无中心区域结构，则两节点环退化为两节点连接。


二、简化公式：w = n + 3d - 4 + z ，适用于单层环或多层环+中心区域结构的标准二维平面图。

其中n = m + d，n为二维平面图中节点个数≥2，m为外围节点个数≥1，d为围内所有节点个数≥1，调整项为z，围内节点个数以树型为模，理论连接边数为v = d - 1，实际连接边数为k = d - 1到2d - 2的连续正整数，若v < k，则+z，v = k，则z = 0，其中3d - 4为围内节点核心贡献项。

注：简化公式具备处理环上弦边的自动化能力。其原理在于，可将环上的弦边通过拓扑形变，等效转化为围内连接，且此转化不会改变图的着色属性。典型示例如四边形模块：将其一条对角线直接移至对侧两角，原弦边连接便直接变为环上1个节点与围内的1个节点的连接，从而在结构上完成弦边从环上到围内的无缝转化。



三、普适公式与虚拟环构建

针对标准和非标准二维平面图，均可通过添加双层虚拟环（总节点数6，每层含3个节点）覆盖所有平面图类型，简化计算过程。由此得到普适公式：

w = 6(n新 - 4)

其中，n原为二维平面图（原始图）的节点个数（n原≥ 0）；6为两层虚拟环的节点个数，n新 = n原 + 6为添加虚拟环后新图的节点总数。双层虚拟环的作用在于包裹原图，有效处理孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构。添加虚拟环后的新图为实际存在的标准二维平面图，原图作为其子结构包含于新图中；去掉双层虚拟环后，原图可继承新图的着色结果，且其色数≤4。

注：普适公式将自动按照标准处理双层虚拟环的连接边，以及內层环与原图的连接边问题，涵盖包括原图中各构型之间不连通时添加虚拟连接边的情况，无论采用何种连接方式，w值均保持恒定。

四、重构公式（等价生成）：

⊙ = 1 + w

由计算所得的辐边总和数w，直接确定最终等价的单中心标准轮图的规模⊙。其中，1 代表由原图范围内所有节点（即所有轮构型模块的中心节点）通过几何叠加生成的唯一中心等效体；w 为该轮图环上的节点数（也就是辐边数）。



2.2 原图与新图的结构转换



2.2.1 原图分解至新图的转换步骤

1. 将原图进行分解，若原图范围内有 N 个节点，则可分解出 N 个变形轮构型，并记录其几何形状。

2. 通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，把变形轮构型还原为标准轮构型。

3. 选取各标准轮构型环上一个节点一侧与边的连接处断开，凭借边与辐边的伸缩形成扇形，让中心节点呈现点片状，扇形的两端分别为节点端与边端。

（注：中心节点为扇柄中的扇钉或点片，辐边为扇骨，环边为扇纸）

4. 将所有扇形拼接成单中心轮图：把一个扇形一侧的节点端与另一个扇形一侧的边端相连，所有扇形的扇柄以点片形式叠加。



2.4.2 新图还原至原图的转换步骤

1. 从新图的环上标记节点，分解出 n 个扇形。

2. 将各扇形的两端连接起来，还原成标准轮构型。

3. 按照原图的变形状态，通过部分或全部点边叠加，恢复原图结构，确保新图与原图的结构等价。



3. 新单中心轮图的最优着色问题

新单中心轮图的着色规则由环上节点数 n 的奇偶性决定：

当 n = 2m + 1（奇环）时，环上的节点用 2 种颜色交替着色 m 次，剩余 1 个节点使用第 3 种颜色，中心节点使用第 4 种颜色，总颜色数为 4。

当 n = 2m（偶环）时，环上的节点用 2 种颜色交替着色 m 次，中心节点使用第 3 种颜色，总颜色数为 3。

关键约束：若原图中存在任意一个奇轮构型模块，那么即便新图为偶环，也必须采用 4 色方案，这是保证着色结果能无冲突地映射回原图的关键条件。



注：新单中心轮图是由原图所有轮构型扇化模块组装而成，与传统单中心轮图属于不同的概念，其色数恒为≤4，



4. 原图与新图的功能等价性



4.1 原图到新图的功能保持

原图分解为 n 个轮构型后，若各中心节点的颜色存在差异，选取占比最多的颜色作为新图的中心颜色，其余轮构型通过环上对应节点颜色与中心节点颜色互换，使所有中心节点颜色统一，确保新图与原图功能等价。



4.2 新图到原图的颜色一致性映射

新图分解为 n 个轮构型时，若中心节点颜色与原图中心颜色冲突，通过新图中心节点颜色与环上节点颜色互换，使新图中心节点颜色与原图一致，维持二者功能等价性。



4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制

在原图与新图的双向转换过程中，当新颜色与其他节点颜色无冲突时，可跳过复杂的颜色互换步骤，直接进行中心颜色替换，简化着色流程。



5. 结论(（可分可合，原图新图双向转换结构功能全等价）

本文提出的辐边总和公式借助虚拟环包裹与轮构型转换，将二维平面图简化为单中心轮图，利用轮图着色特性实现四色以内的着色方案。原图与新图的双向转换及功能等价性保证了着色结果的有效性，为平面图着色问题提供了可操作的理论框架。

重要注记：本公式对于 K5、K3.3 等非平面图不适用。

关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理

朱明君

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朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用（完整版）

作者：朱火华
日期：2026年1月29日

1. 引言

二维平面图的着色问题是图论经典难题，四色定理证实任意平面图均可通过四种颜色完成着色。本文提出辐边总和公式，核心思路为将任意二维平面图（原图）转化为结构与功能等价的单中心轮图（新图），实现着色过程的规范化与简便化；其中辐边总和数既是新单中心轮图的辐边数、环上节点数与新图环边数，也等于二维平面图围内所有节点度数之和，为平面图着色提供系统化、可操作的理论与方法。

2. 辐边总和公式与图结构转换

辐边总和公式为纯代数体系，独立于传统图论欧拉公式，不受二维平面图经典定义限制，核心实现将任意平面图向单中心轮图的转化，且单中心轮图仅需4色即可完成着色，其着色结果可映射回原图。公式分为基础、简化、普适、重构四类，覆盖所有二维平面图类型，同时明确图结构双向转换的具体步骤。

2.1 辐边总和公式的三维代数构造范式

辐边总和公式适用于中心区域节点数≥0的各类二维平面图，包括两层及以上环加中心区域的标准平面图、中心区域为任意结构的平面图；计算时各轮构型辐边独立计算后求和，且所有二维平面图均可拆解为轮构型模块的叠加形式。

一、基础公式

适用于具有由外向内两层及以上环加中心区域结构的标准二维平面图
w = 6(n - m - 1) + (m - d)

参数定义：n为节点总数（n ≥ 4），m为外围节点数（m ≥ 2），d为第二层环节点数（d ≥ 2），w为辐边数（w ≥ 6）；
系数与修正说明：系数6源于最小解（n = 4，m = d = 2时，w = 6），“减1”为扣除围内一个基准值，且所有顶点度数均≥1，最小解由两个1+3轮构型模块部分点边叠加而成；
特殊情形：若m = d（且m + d为≥4的偶数），则w = 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1))；若m = d = 3，则w = 6(n - 4)；

补充：两节点环内若无中心区域结构，退化为两节点直接连接。

二、简化公式

适用于单层环或多层环+中心区域结构的标准二维平面图，具备环上弦边自动化处理能力
w = n + 3d - 4 + z

参数定义：n = m + d为平面图节点总数（n≥2），m为外围节点数（m≥1），d为围内所有节点数（d≥1）；z为调整项，围内节点以树型为模，理论连接边数v = d - 1，实际连接边数k为d - 1到2d - 2的连续正整数，v < k时+z，v = k时z = 0；3d - 4为围内节点核心贡献项；

弦边处理原理：通过拓扑形变将环上弦边等效转化为围内连接，该转化不改变图的着色属性；典型示例为四边形模块，其一条对角线可移至对侧两角，弦边连接直接转化为环上1个节点与围内1个节点的连接，完成弦边从环上到围内的无缝转化。

三、普适公式与虚拟环构建

适用于标准与非标准二维平面图，通过添加双层虚拟环实现所有平面图类型的统一计算，可处理孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构
w = 6(n新- 4)

参数定义：n原为原始二维平面图节点个数（n原≥ 0），双层虚拟环总节点数为6（每层3个节点），n新= n原+ 6为添加虚拟环后新图的节点总数；
虚拟环功能：双层虚拟环包裹原图，使新图成为实际存在的标准二维平面图，原图作为子结构包含于新图中；去掉虚拟环后，原图可继承新图着色结果，且色数≤4；

补充：公式自动处理双层虚拟环的连接边、内层环与原图的连接边，包括原图构型不连通时的虚拟连接边添加，且任意连接方式下w值恒定。

四、重构公式（等价生成）

由辐边总和数直接确定最终等价的单中心标准轮图规模，实现从代数计算到图结构的落地
⊙ = 1 + w

- 定义说明：1代表原图所有轮构型模块的中心节点经几何叠加生成的唯一中心等效体；w为该单中心轮图环上的节点数（与辐边数相等）。

2.2 原图与新图的结构转换

原图（任意二维平面图）与新图（单中心标准轮图）可实现双向结构转换，且转换过程保持结构与功能的完全等价，为着色结果的映射提供基础。

2.2.1 原图分解至新图的转换步骤

1.分解原图：若原图有N个围内节点，将其分解为N个变形轮构型，并记录各构型几何形状；
2.还原构型：通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将所有变形轮构型还原为标准轮构型；
3.扇化处理：选取各标准轮构型环上一个节点一侧与边的连接处断开，借助边与辐边的伸缩形成扇形（中心节点为扇柄中的扇钉/点片，辐边为扇骨，环边为扇纸）；
4.拼接成图：将所有扇形拼接为单中心轮图，拼接规则为一个扇形一侧的节点端与另一个扇形一侧的边端相连，所有扇形的扇柄以点片形式叠加。

2.2.2 新图还原至原图的转换步骤

1.分解新图：从新图的环上标记节点，将单中心轮图分解为n个扇形；
2.还原构型：将各扇形的两端重新连接，恢复为标准轮构型；
3.叠加复原：按照原图的初始变形状态，对标准轮构型进行部分或全部点边叠加，恢复原图结构，确保新图与原图的结构等价性。

3. 新单中心轮图的最优着色问题

新单中心轮图的着色规则由其环上节点数的奇偶性决定，且色数恒≤4；若原图中存在任意一个奇轮构型模块，即便新图为偶环，也需采用4色方案，确保着色结果能无冲突映射回原图。

3.1 奇环着色规则（环上节点数n = 2m + 1）

环上节点用2种颜色交替着色m次，剩余1个节点使用第3种颜色，中心等效体使用第4种颜色，总颜色数为4。

3.2 偶环着色规则（环上节点数n = 2m）

环上节点用2种颜色交替着色m次，中心等效体使用第3种颜色，总颜色数为3。

3.3 核心约束

原图中若存在任意一个奇轮构型模块，无论新图环的奇偶性，均需采用4色着色方案，这是保证着色结果从新图向原图无冲突映射的关键条件。

3.4 概念区分

本文所指新单中心轮图，由原图所有轮构型扇化模块组装而成，与传统图论中的单中心轮图属于不同概念，其核心属性为色数恒≤4，适配平面图着色的核心需求。

4. 原图与新图的功能等价性

原图与新图的功能等价性是着色结果可双向映射的核心保障，主要通过颜色统一、冲突调和、直接替换三种机制实现，确保转换过程中着色属性不发生改变。

4.1 原图到新图的功能保持

原图分解为n个轮构型后，若各轮构型中心节点的着色存在差异，选取占比最多的颜色作为新图中心等效体的颜色；其余轮构型通过环上对应节点颜色与中心节点颜色互换的方式，实现所有中心节点颜色的统一，确保新图与原图的功能等价。

4.2 新图到原图的颜色一致性映射

新图分解为n个轮构型后，若新图中心等效体的颜色与原图各轮构型中心节点的颜色存在冲突，通过新图中心节点颜色与环上节点颜色互换的方式，调和颜色冲突，使新图中心节点颜色与原图保持一致，维持二者功能等价性。

4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制

在原图与新图的双向转换过程中，若新分配的颜色与其他节点颜色无任何冲突，可跳过复杂的颜色互换步骤，直接进行中心节点的颜色替换，大幅简化着色流程，且不影响着色结果的有效性。

5. 结论

本文提出的辐边总和公式，通过虚拟环包裹、轮构型分解与叠加、单中心轮图转化的核心逻辑，实现了任意二维平面图向单中心轮图的规范化转换，且原图与新图具备可分可合的双向结构转换能力与完全的结构、功能等价性。

该公式以纯代数形式构建，独立于传统欧拉公式体系，四类公式覆盖所有标准与非标准二维平面图，可处理环上弦边、孔洞、亏格曲面等复杂结构，结合单中心轮图的奇偶性着色规则（色数恒≤4），为平面图着色提供了系统化、可操作的理论框架与实践方法。

新单中心轮图的着色结果可无冲突映射回原图，且核心约束（奇轮构型模块强制4色）确保了映射的有效性，最终验证了四色定理在二维平面图着色中的适用性，为图论着色问题的研究提供了新的思路与方法。

重要注记：本公式仅适用于二维平面图，对K5、K3.3等非平面图不具备适用性。

关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理

朱明君

三维构造视角与方法论本质

从几何构造的深层结构来看，任何一个静态的二维平面图，均可被理解为由多个轮构型模块在三维空间中堆叠、嵌合并投影至平面的结果。每个轮构型如同一个基础的立体齿轮，在三维空间中通过共享顶点、边或面进行动态组合。辐边总和公式在代数上描述的，正是这一立体堆叠结构的构成规律。

基于此三维视角，辐边总和理论天然具备“可拆卸，可组装”的方法论属性。它将复杂的平面图着色问题，转化为一个清晰的标准化制造流程：首先将原图无损拆解为基本的轮构型模块（三维齿轮单元），继而将这些模块依据确定的规则重新组装成一个结构规则、极易着色的二维单中心轮图。

这一“分解–重组”的范式，实现了从立体化构造理解到平面化规则生成的跨越。辐边总和公式正是这一过程的核心代数法则，它既刻画了立体堆叠的复杂度，也导出了最终平面简化模型的规模。这便是理论得以实现极简计算、全域覆盖并严格保证着色等价性的根本基石。

朱明君

三维构造视角与方法论本质

从几何构造的深层结构出发，任一静态二维平面图，均可被解构为多个轮构型模块在三维空间中经堆叠、嵌合后向平面的投影结果。每个轮构型如同基础立体齿轮，在三维维度中通过共享顶点、边、面完成动态组合，而辐边总和公式，正是对这一立体堆叠结构构成规律的代数精准刻画。

立足这一三维构造视角，辐边总和理论天然具备可拆卸、可组装的核心方法论属性。其将复杂平面图着色这一经典难题，转化为标准化、流程化的构造操作：先对原始平面图进行无损拆解，提取出最基础的轮构型模块（三维齿轮单元）；再依据辐边总和公式界定的确定规则，将这些基础模块重新组装，生成结构规整、着色逻辑极简的二维单中心轮图。

这一“分解–重组”的核心范式，实现了从平面图立体化构造本源理解，到平面化规则化着色模型生成的关键跨越。辐边总和公式作为这一过程的核心代数法则，双向锚定了立体堆叠的结构复杂度与平面简化模型的规模边界，既量化了模块组合的内在规律，也推导了最终着色模型的核心参数，这正是该理论能够实现极简计算、全域覆盖平面图类，并严格保证拆解-重组前后着色等价性的根本理论基石。