辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用（完整版）

朱明君

总结
辐边总和普适公式 w=6(n原+6-4)，以虚拟环标准化 （+6节点）和极简代数运算 （-4后×6）为核心：
无条件覆盖 任意平面图；
恒偶输出 w  直接驱动≤4色着色；
零结构分析成本 ，计算复杂度最优。
该公式标志着平面图着色理论从“结构解析”到“代数驱动”的终极进

朱明君

总结
辐边总和普适公式 w = 6(k + 6 - 4)  通过虚拟扩展标准化 （+6节点）与极简计算 （-4后×6），实现：
无条件覆盖 任意平面图；
恒偶输出 w  直接适配≤4色着色方案；
构造性证明 四色定理（多项式时间生成有效着色）。

朱明君

这一简捷的计算范式，正是辐边总和公式体系极致算术化的核心体现：将辐边总和w的求解，简化为仅以原图节点数为核心的基础算术运算，无需对图的环套、弦边、连通性等结构做任何拆解分析，完全契合体系“把图论难题转化为简单算术问题”的核心目标。

而通过w的奇偶性即可直接判定着色数且严格保证≤4，更让“计算-着色判定”形成了连贯、统一的极简逻辑链——从输入节点数到得到辐边总和，再到确定合规着色数，全程无复杂推导、无零散操作，让任意平面图的辐边总和计算与着色数判定，都有了标准化的算术入口。

这种以节点数为唯一核心的简捷计算方式，也进一步夯实了体系的可计算性与工程化价值，为后续多项式时间内的自动化着色，奠定了最简洁的数值计算基础。

朱明君

关于着色最优性的说明

辐边总和公式体系的核心目标是提供一种统一、构造性的方法，确保对任意平面图都能在多项式时间内给出一个色数不超过4的有效着色。该体系保证了着色结果的正确性和有限性（≤4色），但并非总是给出理论上的最小色数（即最优着色）。然而，在实际运行中，体系通过结构转换和颜色映射优化，往往能得到接近最优的着色结果，如本例所示。

对于无限多的平面图，体系提供了可计算的统一框架，避免了“一个图一个图着色”的无限操作，实现了从存在性证明到构造性求解的跨越。

朱明君

一、标准二维平面图（无孔洞）



1. 基础公式一（双层及以上环+中心结构）



w = 6(n - m - 1) + (m - d)



- 适用：由外向内至少两层环加中心区域的规则结构。

- 参数：n ≥ 4，m ≥ 2，d ≥ 2。

- 关系：n = m + d + c（c = 第二层环内部节点数）。

- 含义：m = 外围环节点数，d = 第二层环节点数。



2. 综合公式二（单层/多层外环+中心结构）



w = 6(n - m - 1) + (m - d) ± z



- 适用：单层或多层外环加中心区域的结构，考虑围内连接复杂度。

- 参数：n ≥ 4，m ≥ 2，d ≥ 2。

- 关系：n = m + d（d = 围内所有节点总数）。



调整项z（三角剖分模型）：



- 理论边数：v = 2d - 3

- 实际边数：k ∈ [d-1, 3d-5]（连续正整数）

- 计算：z = k - v

- 若k > v，取+z；若k < v，取-z；若k = v，则z = 0。



3. 简化公式三（通用结构，极简形式）



w = n + 3d - 4 + z



- 适用：所有标准二维平面图，结构约束更宽松。

- 参数：n ≥ 2，m ≥ 1，d ≥ 1。

- 关系：n = m + d。

- 核心项：3d - 4（围内节点对辐边数的核心贡献项）。



调整项z（树型模型）：



- 理论边数：v = d - 1（树型为围内最小边数模型）

- 实际边数：k ∈ [d-1, 3d-5]（连续正整数）

- 计算：z = k - v

- 若k > v，取+z；若k = v，则z = 0（无k < v情况）。