比职业选手还厉害的“业余数学家”

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比职业选手还厉害的“业余数学家”

原创  蔡驰南  蔡爸谈数学  2026 年 1 月 29 日 09:46  浙江

在法国，他被认为是微积分的创始人，同时他还是解析几何思想的启蒙者、概率论的开创者、以及名垂千古的数论大师。然而数学只是他的爱好，他的正式职业是律师。只不过他在这一爱好上所取得的成就有点多，超过了绝大多数职业数学家。

他就是业余数学之王——皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）。



费马出生于法国南部城市博蒙德洛马涅，家境殷实。他从小就对数学很感兴趣，但与大多数数学家不同的是，他没有选择数学专业，而是遵从父亲的意愿，攻读了法律，并以此作为终生职业。

他依然热爱数学，并将工作之余的时间都花在这个爱好上。他的好友艾蒂安·德帕涅（Etienne d'Espagnet）家中藏书颇丰，费马在其中阅读到了很多数学家（欧几里得、阿波罗尼奥斯、丢番图、韦达等）的著作。

一次，他的另一位好友皮埃尔·德·卡卡维（Pierre de Carcavi）在巴黎遇到了学术界的中心人物——马兰·梅森（创办了梅森学院，是法兰西科学院的前身），并向后者介绍起了“民间数学家”朋友的研究成果。从此，梅森与费马建立起了联系。



通过梅森，费马开始与伽利略、笛卡尔、帕斯卡、惠更斯和沃利斯等最著名的科学家与数学家通信。



费马很少发表文章，他的数学成果大都藏在与这些往来书信中。

他独立创立了解析几何，甚至比笛卡尔还早。

1629 年，他在《平面与立体轨迹引论》（Introduction to Plane and Solid Loci）中，率先使用坐标将几何与代数联系起来；这一思想笛卡尔在 1637 年的论文《几何》（《方法论》的附录）中也有体现。



费马开创了求曲线切线的方法，本质上就是后来微积分中的微分，并且他还提出了寻找极大值和极小值的方法。牛顿曾在书中写过，引导他发明微积分的思想灵感来自“费马作切线的方法”。

1679 年，在《论曲线的切线》（On Tangents to Curved Lines），费马研究了曲线的切线，就是以几何面目出现的微分。



他研究过光的最短时间原理（费马原理），即光在不同介质中穿行，会沿总行程时间最短的路径前进。更广义的定义是：光传播的路径是光程取极值的路径。

这是变分法的早期探索。后来，约翰·伯努利提出最速降线问题，他本人就是用费马原理来解决的，而他的哥哥雅各布·伯努利则是运用了变分法来解答，更为本质。（关于什么是最速降线问题，可参见往作：一道数学问题让我想明白了人生的意义）




最速降线类似于光在不同折射率的玻璃中穿行的轨迹，都遵循“费马原理”

再后来欧拉与拉格朗日对变分法进行深入研究，提出了欧拉-拉格朗日方程，以及最小作用量原理，并发展出了分析力学，将牛顿力学重写了一遍。

费马与帕斯卡通信，讨论了“分赌注问题”（1654 年 7 月 29 日），从此诞生了新的数学分支——概率论。（关于“分赌注问题”，可参见往作：那个被质疑的少年，开创了新的数学分支）


费马与帕斯卡通信中，表达了对一场中止的赌局，如何分配剩下赌注的思考

而以上部分还不是费马最擅长的领域，他最擅长的是数论，真正让他家喻户晓的当属费马大定理，费马提出时应该叫“费马猜想”。

勾股定理是两千年前的重大数学发现，然而当指数取大于 2 的整数呢？是否还能找到满足等式的正整数解？

这正是 1637 年费马在看丢番图的《算术》时，想到的问题，他凭借数学直觉提出的一个猜想：当 n>2 时，x^n+y^n=z^n ，没有正整数解。



更神的是，费马还在书页空白处留下了一句话：“对于这个命题，我有一个巧妙的证明，但这里太小了，写不下。”

谁都没有料到，费马“随手”写下的猜想，竟然让数学界忙活了三百多年，一众顶级数学家们前赴后继。

在最初的一百多年里，欧拉、高斯、热尔曼、柯西、狄利克雷、勒让德等大师，都只完成了 n 为特殊值时的证明，要完全证明似乎遥遥无期。

高斯甚至怀疑这个猜想既不能被证伪，也无法被证明。



就在费马猜想的热度逐渐下降时，一位富二代的意外介入，让它变得举世闻名。

1908 年的一天夜里，一位德国青年保罗·沃尔夫斯凯尔（Paul Friedrich Wolfskehl）遭受感情创伤，决定在午夜 12 点自杀。结果写完遗嘱后时间还没到，无所事事的他竟算起了费马猜想来。计算过程深深吸引了他，以至错过了预定的时间，最终他放弃了自杀。

这位被费马猜想所拯救的年轻人，随后宣布谁能破解这一问题，将给予 10 万马克的奖励。按当时金本位的换算，差不多等于 36 公斤黄金（35.84 公斤黄金）。

重赏之下必有勇夫。

费马猜想一时间传遍街头巷尾，无论职业数学家，还是业余数学家，都纷纷下场想要试试运气，但费马猜想岿然不动。

直到 1995 年，这个困扰了人类 358 年的数学猜想才被英国数学家怀尔斯证明。



整个证明过程有近 130 页，其中用到了椭圆函数论和群论的知识，这些都是费马那个时代还没有的数学理论，似乎费马写在书页空白处的那句话，有点夸海口。

无论如何，费马猜想变成了费马大定理（又称：费马最后定理，Fermat's Last Theorem），费马的名字确实是名垂青史了。

费马身处现代数学的启蒙阶段，他虽然是“业余数学家”，但却凭借热爱与天赋，催生了几大重要数学分支，影响极其深远。

文凭本身，不过是一张纸；时间与热爱投向何处，才真正定义生命的轨迹。正如费马——世人早已淡忘他书写的法律文件，却永远铭记他留下的数学谜题。

蔡爸谈数学