f(x) 若在 [a,b] 可积，则必定在 [a,b] 有界，为什么下列函数无界，却在闭区间上可积?

fm1134

对“可积必有界”的一点疑问

luyuanhong

fm1134

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fm1134

谢谢陆老师的解答！
还有一点疑问。
如果把原命题中的闭区间[a,b]改为开区间(a,b)，结论是不是就不成立了呢？
即：“如果f(x)在开区间(a,b)内可积，则f(x)在(a,b)内一定有界”这个命题是不正确的。
是这样吗？

luyuanhong

是的，f(x) 在开区间 (a,b) 上可积（广义可积），f(x) 不一定在开区间 (a,b) 内有界。

举一个反例： 设 f(x)=1/√x 。

f(x)=1/√x 在开区间 (0,1)  上广义可积，广义积分值等于 2 。

但是 f(x)=1/√x 在开区间 (0,1) 内无界。

fm1134

luyuanhong 发表于 2026-2-14 16:55
是的，f(x) 在开区间 (a,b) 上可积（广义可积），f(x) 不一定在开区间 (a,b) 内有界。

举一个反例： 设  ...

谢谢陆老师！