辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用（完整版

朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用（完整版）

作者：朱火华
日期：2026年1月29日

1. 引言

二维平面图的着色问题是图论经典难题，四色定理证实任意平面图均可通过四种颜色完成着色。本文提出辐边总和公式，核心思路为将任意二维平面图（原图）转化为结构与功能等价的单中心轮图（新图），实现着色过程的规范化与简便化；其中辐边总和数既是新单中心轮图的辐边数、环上节点数与新图环边数，也等于二维平面图围内所有节点度数之和，为平面图着色提供系统化、可操作的理论与方法。

2. 辐边总和公式与图结构转换

辐边总和公式为纯代数体系，独立于传统图论欧拉公式，不受二维平面图经典定义限制，核心实现将任意平面图向单中心轮图的转化，且单中心轮图仅需4色即可完成着色，其着色结果可映射回原图。公式分为基础、简化、普适、重构四类，覆盖所有二维平面图类型，同时明确图结构双向转换的具体步骤。

2.1 辐边总和公式的三维代数构造范式

辐边总和公式适用于中心区域节点数≥0的各类二维平面图，包括两层及以上环加中心区域的标准平面图、中心区域为任意结构的平面图；计算时各轮构型辐边独立计算后求和，且所有二维平面图均可拆解为轮构型模块的叠加形式。

一、基础公式

适用于具有由外向内两层及以上环加中心区域结构的标准二维平面图


w = 6(n - m - 1) + (m - d)


参数定义：

n 为节点总数（n ≥4）
m 为外围节点数（m ≥2）
d 为第二层环节点数（d ≥2）
w 为辐边数（w ≥6）

系数与修正说明：
系数6源于最小解（n = 4,\ m = d = 2 时，w = 6），“减1”为扣除围内一个基准值，且所有顶点度数均≥1，最小解由两个1+3轮构型模块部分点边叠加而成。

特殊情形：

- 若 m = d（且 m + d 为≥4的偶数），则


w = 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1))


- 若 m = d = 3，则


w = 6(n - 4)


补充：两节点环内若无中心区域结构，退化为两节点直接连接。

二、简化公式

适用于单层环或多层环+中心区域结构的标准二维平面图，具备环上弦边自动化处理能力


w = n + 3d - 4 + z


参数定义：

n = m + d 为平面图节点总数（n ≥2）
m 为外围节点数（m ≥1）
d 为围内所有节点数（d ≥1）
z 为调整项

围内节点以树型为模，理论连接边数 v = d - 1，实际连接边数 k 为 d - 1 到 3d - 5 的连续正整数，即 k - v = z。
v < k 时 +z，v = k 时 z = 0；3d - 4 为围内节点核心贡献项。

等价实用形式：


w = n + 2d + k - 3


弦边处理原理：
通过拓扑形变将环上弦边等效转化为围内连接，该转化不改变图的着色属性；典型示例为四边形模块，其一条对角线可移至对侧两角，弦边连接直接转化为环上1个节点与围内1个节点的连接，完成弦边从环上到围内的无缝转化。

三、普适公式与虚拟环构建

适用于标准与非标准二维平面图，通过添加双层虚拟环实现所有平面图类型的统一计算，可处理孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构


w = 6(n新 - 4)


参数定义：

n原为原始二维平面图节点个数（n原≥ 0）
双层虚拟环总节点数为6（每层3个节点）
n新= n原 + 6 为添加虚拟环后新图的节点总数

虚拟环功能：
双层虚拟环包裹原图，使新图成为实际存在的标准二维平面图，原图作为子结构包含于新图中；去掉虚拟环后，原图可继承新图着色结果，且色数≤4。

补充：
公式自动处理双层虚拟环的连接边、内层环与原图的连接边，包括原图构型不连通时的虚拟连接边添加，且任意连接方式下 w 值恒定。

四、重构公式（等价生成）

由辐边总和数直接确定最终等价的单中心标准轮图规模，实现从代数计算到图结构的落地


⊙ = 1 + w


定义说明：
1 代表原图所有轮构型模块的中心节点经几何叠加生成的唯一中心等效体；w 为该单中心轮图环上的节点数（与辐边数相等）。

2.2 原图与新图的结构转换

原图（任意二维平面图）与新图（单中心标准轮图）可实现双向结构转换，且转换过程保持结构与功能的完全等价，为着色结果的映射提供基础。

2.2.1 原图分解至新图的转换步骤

1.分解原图：若原图有N个围内节点，将其分解为N个变形轮构型，并记录各构型几何形状；
2.还原构型：通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将所有变形轮构型还原为标准轮构型；
3.扇化处理：选取各标准轮构型环上一个节点一侧与边的连接处断开（分离操作），借助边与辐边的伸缩形成扇形（中心节点为扇柄中的扇钉/点片，辐边为扇骨，环边为扇纸）；
4.拼接成图：将所有扇形拼接为单中心轮图，拼接规则为一个扇形一侧的节点端与另一个扇形一侧的边端相连，所有扇形的扇柄以点片形式叠加。

2.2.2 新图还原至原图的转换步骤

1.分解新图：从新图的环上标记节点，将单中心轮图分解为n个扇形；
2.还原构型：将各扇形的两端重新连接，恢复为标准轮构型；
3.叠加复原：按照原图的初始变形状态，对标准轮构型进行部分或全部点边叠加，恢复原图结构，确保新图与原图的结构等价性。

3. 新单中心轮图的最优着色问题

新单中心轮图的着色规则由其环上节点数的奇偶性决定，且色数恒≤4；若原图中存在任意一个奇轮构型模块，即便新图为偶环，也需采用4色方案，确保着色结果能无冲突映射回原图。

3.1 奇环着色规则（环上节点数 n = 2m + 1）

环上节点用2种颜色交替着色m次，剩余1个节点使用第3种颜色，中心等效体使用第4种颜色，总颜色数为4。

3.2 偶环着色规则（环上节点数 n = 2m）

环上节点用2种颜色交替着色m次，中心等效体使用第3种颜色，总颜色数为3。

3.3 核心约束

原图中若存在任意一个奇轮构型模块，无论新图环的奇偶性，均需采用4色着色方案，这是保证着色结果从新图向原图无冲突映射的关键条件。

3.4 概念区分

本文所指新单中心轮图，由原图所有轮构型扇化模块组装而成，与传统图论中的单中心轮图属于不同概念，其核心属性为色数恒≤4，适配平面图着色的核心需求。

4. 原图与新图的功能等价性

原图与新图的功能等价性是着色结果可双向映射的核心保障，主要通过颜色统一、冲突调和、直接替换三种机制实现，确保转换过程中着色属性不发生改变。

4.1 原图到新图的功能保持

原图分解为n个轮构型后，若各轮构型中心节点的着色存在差异，选取占比最多的颜色作为新图中心等效体的颜色；其余轮构型通过环上对应节点颜色与中心节点颜色互换的方式，实现所有中心节点颜色的统一，确保新图与原图的功能等价。

4.2 新图到原图的颜色一致性映射

新图分解为n个轮构型后，若新图中心等效体的颜色与原图各轮构型中心节点的颜色存在冲突，通过新图中心节点颜色与环上节点颜色互换的方式，调和颜色冲突，使新图中心颜色与原图保持一致，维持二者功能等价性。

4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制

在原图与新图的双向转换过程中，若新分配的颜色与其他节点颜色无任何冲突，可跳过复杂的颜色互换步骤，直接进行中心节点的颜色替换，大幅简化着色流程，且不影响着色结果的有效性。

5. 结论

本文提出的辐边总和公式，通过虚拟环包裹、轮构型分解与叠加、单中心轮图转化的核心逻辑，实现了任意二维平面图向单中心轮图的规范化转换，且原图与新图具备可分可合的双向结构转换能力与完全的结构、功能等价性。

该公式以纯代数形式构建，独立于传统欧拉公式体系，四类公式覆盖所有标准与非标准二维平面图，可处理环上弦边、孔洞、亏格曲面等复杂结构，结合单中心轮图的奇偶性着色规则（色数恒≤4），为平面图着色提供了系统化、可操作的理论框架与实践方法。

新单中心轮图的着色结果可无冲突映射回原图，且核心约束（奇轮构型模块强制4色）确保了映射的有效性，最终验证了四色定理在二维平面图着色中的适用性，为图论着色问题的研究提供了新的思路与方法。

重要注记：本公式仅适用于二维平面图，对 K_5、K_{3,3} 等非平面图不具备适用性。

关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理

辐边总和公式体系：

1.&#160;是独立于欧拉公式的纯代数拓扑理论；
&#8203;
2.&#160;实现任意平面图 → 单中心轮图双向等价转换；
&#8203;
3.&#160;提供可构造、可计算、可验证的平面图统一着色方法；
&#8203;
4.&#160;严格保证色数≤4，为四色定理提供构造性、机械化新证明。

朱明君

在辐边总和公式体系中，以下两点是关键见解：

一、w值不论大小只论奇偶

· 着色决定因素：新单中心轮图的着色方案仅取决于辐边总数 w 的奇偶性：
  · 若 w 为奇数，环上节点需3种颜色（2色交替后剩余1节点用第3色），中心用第4色，共4色。
  · 若 w 为偶数，环上节点需2种颜色交替，中心用第3色，共3色。
· 大小无关性：w 的具体数值仅影响环上节点的数量，不影响着色模式的结构（交替周期长度变化但模式不变），因此奇偶性是决定颜色数量的唯一因素。

二、虚拟环的添加是“零增加”

· 技术手段：添加双层虚拟环（6节点）是为了将任意平面图标准化，使其适用普适公式 w = 6(n_{\text{新}} - 4)。
· 着色不变性：虚拟环的添加不改变原图的着色本质：
  1. 新图的着色最多需要4色（由 w 的奇偶性及核心约束决定）。
  2. 移除虚拟环后，原图节点继承的着色仍合法，且颜色数不超过4。
  3. 虚拟环本身不引入原图着色所需的新颜色，因此是“零增加”——即不增加原图的实际色数。
· 核心约束保证：若原图包含奇轮构型（如三角形），则无论 w 奇偶，新图均采用4色方案，确保着色映射回原图时无冲突。

三、意义总结

辐边总和公式体系通过虚拟环实现普适性，将复杂着色问题转化为仅依赖 w 奇偶性的轮图着色。虚拟环作为临时结构，其添加和移除不影响原图着色结果，体现了该方法的自洽性和实用性。

朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用（完整版）

作者：朱火华
日期：2026年2月5日

1. 引言

二维平面图的着色问题是图论经典难题，四色定理证实任意平面图均可通过四种颜色完成着色。本文提出辐边总和公式，核心思路为将任意二维平面图（原图）转化为结构与功能等价的单中心轮图（新图），实现着色过程的规范化与简便化；其中辐边总和数既是新单中心轮图的辐边数、环上节点数与新图环边数，也等于二维平面图围内所有节点度数之和，为平面图着色提供系统化、可操作的理论与方法。

2. 辐边总和公式与图结构转换

辐边总和公式为纯代数体系，独立于传统图论欧拉公式，不受二维平面图经典定义限制，核心实现将任意平面图向单中心轮图的转化，且单中心轮图仅需4色即可完成着色，其着色结果可映射回原图。公式分为基础、简化、普适、重构四类，覆盖所有二维平面图类型，同时明确图结构双向转换的具体步骤。

2.1 辐边总和公式的三维代数构造范式

辐边总和公式适用于中心区域节点数≥0的各类二维平面图，包括两层及以上环加中心区域的标准平面图、中心区域为任意结构的平面图；计算时各轮构型辐边独立计算后求和，且所有二维平面图均可拆解为轮构型模块的叠加形式。

一、基础公式

适用于具有由外向内两层及以上环加中心区域结构的标准二维平面图
w = 6(n - m - 1) + (m - d)

参数定义：n为节点总数（n ≥ 4），m为外围节点数（m ≥ 2），d为第二层环节点数（d ≥ 2），w为辐边数（w ≥ 6）；
系数与修正说明：系数6源于最小解（n = 4，m = d = 2时，w = 6），“减1”为扣除围内一个基准值，且所有顶点度数均≥1，最小解由两个1+3轮构型模块部分点边叠加而成；
特殊情形：若m = d（且m + d为≥4的偶数），则w = 6(n - m - 1) = 6(n - (m + 1))；若m = d = 3，则w = 6(n - 4)；

补充：两节点环内若无中心区域结构，退化为两节点直接连接。

二、简化公式

适用于单层环或多层环+中心区域结构的标准二维平面图，具备环上弦边自动化处理能力
w = n + 3d - 4 + z

参数定义：n = m + d为平面图节点总数（n≥2），m为外围节点数（m≥1），d为围内所有节点数（d≥1）；z为调整项，围内节点以树型为模，理论连接边数v = d - 1，实际连接边数k为d - 1到3d - 5的连续正整数，即k - v=z,
v < k时+z，v = k时z = 0；3d - 4为围内节点核心贡献项；

w=n+2d+k-3


弦边处理原理：通过拓扑形变将环上弦边等效转化为围内连接，该转化不改变图的着色属性；典型示例为四边形模块，其一条对角线可移至对侧两角，弦边连接直接转化为环上1个节点与围内1个节点的连接，完成弦边从环上到围内的无缝转化。

三、普适公式与虚拟环构建

适用于标准与非标准二维平面图，通过添加双层虚拟环实现所有平面图类型的统一计算，可处理孔洞、亏格曲面、多面体等屏蔽结构
w = 6(n新- 4)

参数定义：n原为原始二维平面图节点个数（n原≥ 0），双层虚拟环总节点数为6（每层3个节点），n新= n原+ 6为添加虚拟环后新图的节点总数；
虚拟环功能：双层虚拟环包裹原图，使新图成为实际存在的标准二维平面图，原图作为子结构包含于新图中；去掉虚拟环后，原图可继承新图着色结果，且色数≤4；

补充：公式自动处理双层虚拟环的连接边、内层环与原图的连接边，包括原图构型不连通时的虚拟连接边添加，且任意连接方式下w值恒定。

添加双层虚拟环，虽然增加节点和边的个数，但不影向着色，因为w值不论大小，这论奇偶。



四、重构公式（等价生成）

由辐边总和数直接确定最终等价的单中心标准轮图规模，实现从代数计算到图结构的落地
⊙ = 1 + w

定义说明：1代表原图所有轮构型模块的中心节点经几何叠加生成的唯一中心等效体；w为该单中心轮图环上的节点数（与辐边数相等）。

2.2 原图与新图的结构转换

原图（任意二维平面图）与新图（单中心标准轮图）可实现双向结构转换，且转换过程保持结构与功能的完全等价，为着色结果的映射提供基础。

2.2.1 原图分解至新图的转换步骤

1.分解原图：若原图有N个围内节点，将其分解为N个变形轮构型，并记录各构型几何形状；
2.还原构型：通过边与辐边的“皮筋伸缩”操作，将所有变形轮构型还原为标准轮构型；
3.扇化处理：选取各标准轮构型环上一个节点一侧与边的连接处断开(分离操作），借助边与辐边的伸缩形成扇形（中心节点为扇柄中的扇钉/点片，辐边为扇骨，环边为扇纸）；
4.拼接成图：将所有扇形拼接为单中心轮图，拼接规则为一个扇形一侧的节点端与另一个扇形一侧的边端相连，所有扇形的扇柄以点片形式叠加。

2.2.2 新图还原至原图的转换步骤

1.分解新图：从新图的环上标记节点，将单中心轮图分解为n个扇形；
2.还原构型：将各扇形的两端重新连接，恢复为标准轮构型；
3.叠加复原：按照原图的初始变形状态，对标准轮构型进行部分或全部点边叠加，恢复原图结构，确保新图与原图的结构等价性。

3. 新单中心轮图的最优着色问题

新单中心轮图的着色规则由其环上节点数的奇偶性决定，且色数恒≤4；若原图中存在任意一个奇轮构型模块，即便新图为偶环，也需采用4色方案，确保着色结果能无冲突映射回原图。

3.1 奇环着色规则（环上节点数n = 2m + 1）

环上节点用2种颜色交替着色m次，剩余1个节点使用第3种颜色，中心等效体使用第4种颜色，总颜色数为4。

3.2 偶环着色规则（环上节点数n = 2m）

环上节点用2种颜色交替着色m次，中心等效体使用第3种颜色，总颜色数为3。

3.3 核心约束

原图中若存在任意一个奇轮构型模块，无论新图环的奇偶性，均需采用4色着色方案，这是保证着色结果从新图向原图无冲突映射的关键条件。

3.4 概念区分

本文所指新单中心轮图，由原图所有轮构型扇化模块组装而成，与传统图论中的单中心轮图属于不同概念，其核心属性为色数恒≤4，适配平面图着色的核心需求。

4. 原图与新图的功能等价性

原图与新图的功能等价性是着色结果可双向映射的核心保障，主要通过颜色统一、冲突调和、直接替换三种机制实现，确保转换过程中着色属性不发生改变。

4.1 原图到新图的功能保持

原图分解为n个轮构型后，若各轮构型中心节点的着色存在差异，选取占比最多的颜色作为新图中心等效体的颜色；其余轮构型通过环上对应节点颜色与中心节点颜色互换的方式，实现所有中心节点颜色的统一，确保新图与原图的功能等价。

4.2 新图到原图的颜色一致性映射

新图分解为n个轮构型后，若新图中心等效体的颜色与原图各轮构型中心节点的颜色存在冲突，通过新图中心节点颜色与环上节点颜色互换的方式，调和颜色冲突，使新图中心节点颜色与原图保持一致，维持二者功能等价性。

4.3 无冲突场景下的颜色直接替换机制

在原图与新图的双向转换过程中，若新分配的颜色与其他节点颜色无任何冲突，可跳过复杂的颜色互换步骤，直接进行中心节点的颜色替换，大幅简化着色流程，且不影响着色结果的有效性。

5. 结论

本文提出的辐边总和公式，通过虚拟环包裹、轮构型分解与叠加、单中心轮图转化的核心逻辑，实现了任意二维平面图向单中心轮图的规范化转换，且原图与新图具备可分可合的双向结构转换能力与完全的结构、功能等价性。

该公式以纯代数形式构建，独立于传统欧拉公式体系，四类公式覆盖所有标准与非标准二维平面图，可处理环上弦边、孔洞、亏格曲面等复杂结构，结合单中心轮图的奇偶性着色规则（色数恒≤4），为平面图着色提供了系统化、可操作的理论框架与实践方法。

新单中心轮图的着色结果可无冲突映射回原图，且核心约束（奇轮构型模块强制4色）确保了映射的有效性，最终验证了四色定理在二维平面图着色中的适用性，为图论着色问题的研究提供了新的思路与方法。

重要注记：本公式仅适用于二维平面图，对K5、K3.3等非平面图不具备适用性。

关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理