现代数学神奇的一刻：笛卡尔坐标系的诞生

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现代数学神奇的一刻：笛卡尔坐标系的诞生

原创  刘林  一个独立的教书手艺人  2025 年 12 月 29 日 23:26  浙江

我们在数学学习中常常会用到平面直角坐标系：两条相交直线组成的参考系。我们把水平线标记为“ x 轴”，把垂直线标记为“y 轴”，这两条线相交的点被称为“原点”。



笛卡儿用微不足道的事实表明，用坐标系平面上的一对数就能清晰无误地确定一个点的位置。笛卡儿利用这一事实发展出了一门非常有用的理论——解析几何。为了纪念笛卡儿，这种以两条相交直线组成的参考系被命名为“笛卡儿坐标系”。



笛卡儿在《谈谈方法》的一篇 106 页的附录中大体勾勒了这一思想，这篇附录被称为《几何》。你也许很难相信，正是这个看起来十分简单的概念从根本上改变了数学。笛卡尔说，如果你想描绘出平面上距离原点 5 个单位的所有点，肯定会画出一个以原点为圆心、半径为 5 个单位的圆（图 5b）。如果在这个圆周上取一个点，其坐标值为 (3, 4) ，我们会发现这一坐标值恰好满足 3^2+4^2=5^2 。事实上，我们可以很容易地证明（利用毕达哥拉斯定理），这个圆上的所有点的坐标（x,y）都满足 x^2+y^2=5^2 。更进一步地说，在这个平面上，只有这个圆周上的点的坐标值能使等式 x^2+y^2=5^2 成立。这就意味着，代数等式 x^2+y^2=5^2 可以精确且唯一地表示这个圆。



笛卡儿发现了一种能用代数等式表现几何中曲线的方法，反之亦然。如果这种方法仅针对一个简单的圆成立，那乍听上去，这似乎没什么值得激动的。但事实上，今天我们所能见到的一切曲线图，包括股票市场每周的波动图、过去几个世纪以来北极的气温变化图，或者宇宙的比例图，全部都来自笛卡儿这一天才的思想。从此以后，代数和几何突然之间不再是两门独立的数学分支了，它们表达了相同的真理。描述一条曲线的数学等式暗含了该曲线所有我们能想象得到的特性。



笛卡儿进一步提出，不同曲线可以用相同的坐标系来描述，通过找出代表这些曲线的代数表达式构成的方程组的一般解，进而简单地找到这些曲线的交点。通过这种方法，笛卡儿充分利用代数学自身的优势纠正了传统几何学中的缺点。欧几里得将几何中的点定义为不可再分的、没有大小的独立存在体，而笛卡儿使用一对简洁有序的数就能定义平面上的点。在此之后，欧几里得那种模糊的定义方法就永远地过时了。



笛卡儿还指出，如果坐标点（x,y）中的 x 和 y 这两个数有某种关系，也就是说，x 的每一个值都对应着唯一的 y 值，那么此时，x 和 y 就构成了一种函数关系。函数无处不在，函数是现代科学家、统计学家、经济学家真正的“面包和黄油”，须臾不可或缺。而在坐标系中，函数都能用函数图像表示出来。



如果多次重复的科学实验或观察最终得出了相同的函数关系，它们就可能被提升到自然规律的地位——这里所谓的规律是指所有自然现象都要遵循的、可用数学描述的行为方式。

笛卡儿的思想为用数学系统性地处理几乎所有事物推开了一扇门——“上帝是一位数学家”这一理念的核心意思也不过如此。



从纯数学的角度看，几何和代数这两门数学分支在过去被认为是毫无关联的，但笛卡儿证明了，如果从更高角度分析的话，两者是完全等价的。通过建立二者之间的等价关系，笛卡儿拓展了数学的研究范围，为进入分析领域铺平了道路，让数学家能轻易地在数学各分支学科之间进行交叉研究。如此一来，不仅各种不同的自然现象都能用数学描述，甚至数学本身也变得更广阔、更丰富、更统一了。



笛卡儿肯定不会知道，有一个人会把他的数学思想作为科学向前迈进的核心力量，而这个人在他去世那年才 8 岁，这个人的名字叫牛顿，现代数学的根基即将诞生：微积分。





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