\(\huge\color{red}{\textbf{无穷小数都至少对应着二个无穷整数，反之亦然}}\)

APB先生

      任一无穷小数都至少对应着二个无穷整数：\[f\left( 0.a_1a_2\cdots\right)=\begin{cases}
a_1a_2\cdots.0\in\mathbb{N}\\
\cdots a_2a_1.0\in\mathbb{N}
\end{cases}\]      任一无穷整数都至少对应着二个无穷小数：\[f\left( a_1a_2\cdots.0\right)=\begin{cases}
0.a_1a_2\cdots\in\left( 0{,}1\right)\\
0.\cdots a_2a_1\in\left( 0{,}1\right)
\end{cases}\]  

APB先生

\[f\left( 0.\to\right)=\begin{cases}
\to.0\in\mathbb{N}\\
\gets.0\in\mathbb{N}
\end{cases}\]\[f\left( \to.0\right)=\begin{cases}
0.\to\in\mathbb{\left( 0{,}1\right)}\\
0.\gets\in\mathbb{\left( 0{,}1\right)}
\end{cases}\]

APB先生

\[f\left( 0.4\dot{9}\right)=\begin{cases}
4\dot{9}.0\in\mathbb{N}\\
\dot{9}4.0\in\mathbb{N}
\end{cases}\]\[f\left( 4\dot{9}.0\right)=\begin{cases}
0.4\dot{9}\in\mathbb{\left( 0{,}1\right)}\\
0.\dot{9}4\in\mathbb{\left( 0{,}1\right)}
\end{cases}\]

春风晚霞

elim，真你娘的扯淡。你可以根据你的需要定义\(ω=N\)，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=Sup\mathbb{N}\)，为什么APB先生就不可根据\(4.\dot 9\)=5∈\(\mathbb{N}\)(等式\(4.\dot 9=5\)可参见任何一本数学分析教科书)，两端同乘以\(10^n\)(n→∞)得\((4.\dot 9\times 10^n\)\(=4\dot 9\).0∈\(\mathbb{N}\)？！从论证的严谨程度看APB先生比你他妈的严谨得多！也许你从未思考过你在讲连分数的讲座中曾有\(α^2=\)\(1^2\)\(+1^2\)(即\(α=\)\(\sqrt 2\)，亦即α是常数），证明的结论中你又有α取1得到你想得的连分式的陈述。这岂不与令4=3一样荒唐吗？！还有elim关于∞的认识，你反对根据自然数列的一般项取极限得\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)∈N(即elim所谓的目测法)，难道你是根据皮亚诺公理第2条：1，2，…，k，k+1，…这样永远“写”下去都“写”不到\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)，从而证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\notin\mathbb{N}\)的吗？俗话说“只许州官放火，不许百姓点灯”，你他妈的毕竟还不是“州官”嘛，你凭什么如此霸道？！

APB先生

非常支持和感谢春风晚霞老师的仗义执言！

APB先生

三蛋elim连无穷集\(\mathbb{N}\)包含无穷元都不懂，许多数学题都不会做，却还要自以为了不起，贬低众人,真不要脸，其实你不过是骂人第一而已，没啥了不起。\[\mathbb{N}\supset\left\{ 3{,}33{,}\ \cdots{,}\ \dot{3}{,}\dot{3}^{\dot{3}}{,}\cdots\right\}{,}\ \ \ \dot{3}.0=\cdots33.0=f\left( 0.\dot{3}\right)\]