已知 ΔABC 中从 A 点出发的中线 ma=11 ，角平分线 ba=7 ，高 ha=5 ，求 ΔABC 的面积

王守恩

接 6#。——还是啰嗦,  不知标准答案是怎样的？

\(5^2 + z^2 = k^2y^2, (1)\)

\(5^2 + (y + z)^2 = 7^2, (2)\)

\(5^2 + (x + z)^2 = 11^2, (3)\)

\(5^2 + (2 x + z)^2 = k^2(2 x - y)^2,(4)\)

\(由(2)—(y+z)^2=24\)

\(由(3)—(x+z)^2=((x-y)+(y+z))^2=4*24,可得x-y=y+z=24.可得x-2y=z\)

\(k^2=\frac{5^2+z^2}{y^2}=\frac{5^2+(2x+z)^2}{(2x-y)^2}\)

\(k^2=\frac{5^2+(x-2y)^2}{y^2}=\frac{5^2+(3x-2y)^2}{(2x-y)^2}\)

\(k^2=\frac{5^2+(2(x-y)-x)^2}{y^2}=\frac{5^2+(2(x-y)+x)^2}{((x-y)+x)^2}\)

\(k^2=\frac{5^2+(2\sqrt{24}-x)^2}{(\sqrt{24}-x)^2}=\frac{5^2+(2\sqrt{24}+x)^2}{(\sqrt{24}+x)^2}\)

\(即:\frac{(\sqrt{24}-x)^2}{(\sqrt{24}+x)^2}=\frac{25+2\sqrt{24}-x)^2}{25+2\sqrt{24}+x)^2}利用合分比\frac{u}{v}=\frac{p}{q}可以有\frac{u+v}{u-v}=\frac{p+q}{p-q}\)

\(\frac{(\sqrt{24}-x)^2+(\sqrt{24}+x)^2}{(\sqrt{24}-x)^2-(\sqrt{24}+x)^2}=\frac{25+(2\sqrt{24}-x)^2+25+(2\sqrt{24}+x)^2}{25+(2\sqrt{24}-x)^2-25-(2\sqrt{24}+x)^2}\)

\(\frac{2(24+x^2)}{-4\sqrt{24}x}=\frac{2*25+2(4*24+x^2)}{-4*2\sqrt{24}x}\)

\(\frac{24+x^2}{\sqrt{24}}=\frac{25+4*24+x^2}{2\sqrt{24}}\)

\(48+2x^2=25+4*24+x^2\)

\(x^2=73\)

dodonaomikiki

采撷自YSU老师~~~见红圈部分！
我进行拉计算，几别致富技巧！很有味道~~~一开始我就想采用【分母有理化】来进行计算，
然后走不通！
就采用“脱落法”（自称！可能是错误的），
很有意思！

\(

         \boldsymbol{            \displaystyle{            \frac{ 100 \sqrt{6}  -    4\sqrt{6}   +    \sqrt{73}   }{1+4\sqrt{6}   \bullet     4\sqrt{6}  -    4\sqrt{6}     \bullet    \sqrt{73}   }-(   4\sqrt{6}  -  \sqrt{73}    )       }}                   \\
              \boldsymbol{            \displaystyle{            =\frac{ 96\sqrt{6}   +    \sqrt{73}   }{97  -    4\sqrt{6}     \bullet    \sqrt{73}   }-     \frac{     (   4\sqrt{6}  -  \sqrt{73}    )     \bullet (97  -    4\sqrt{6}     \bullet    \sqrt{73}   )              }{97  -    4\sqrt{6}     \bullet    \sqrt{73}   }              }}                        \\
      \boldsymbol{            \displaystyle{                  =\frac{ 96\sqrt{6}   + \sqrt{73} -4   \bullet   97 \sqrt{6}   + 4\sqrt{6}     \bullet    4\sqrt{6}     \bullet    \sqrt{73}+    \sqrt{73}    \bullet 97-      \sqrt{73}    \bullet    4\sqrt{6}     \bullet      \sqrt{73}                    }{          分母不变}            }}                \\
         \boldsymbol{            \displaystyle{               =\frac{ 96\sqrt{6}   + \sqrt{73} -388 \sqrt{6}   + 96  \sqrt{73}+    97  \sqrt{73}   -292\sqrt{6}                    }{          分母不变}               }}             \\


            \boldsymbol{            \displaystyle{               =\frac{ +194 \sqrt{73}-584\sqrt{6}                    }{          分母不变=97  -    4\sqrt{6}     \bullet    \sqrt{73}            }               }}             \\
        \boldsymbol{            \displaystyle{                 =2  \sqrt{73}       }}   













...\)

dodonaomikiki

一开始想到添加辅助线以便运用纯几何法来解决问题。
然后，“人工题目”添了辅助线
或许有可能“让分数变成整数”




~~~~~~~~~~~~~~
但此题似乎不行“天不遂人愿”，
\(”\sqrt{73}变成2\sqrt{73} “又有什么意义呢！\)
所以此题虽然【数值解法】的意味很重，
但也确实给人以启示！
还是有价值！