加减乘除四则运算中，为什么说乘法最特殊？

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加减乘除四则运算中，为什么说乘法最特殊？

原创  刘啸  刘啸说点啥  2026 年 3 月 13 日 08:12  上海

本文要从一个特殊的几何角度来考察加减乘除四则运算。

这个角度就是，动点和两个定点的距离的运算关系。

熟悉圆锥曲线的朋友们都知道，一个动点，如果和两个定点的距离和是定值，则这个动点的轨迹是椭圆。



上图中，MF1+MF2 是定值 2a ，是椭圆两个顶点间的距离也就是长轴的长度，其中 F1、F2 分别为椭圆的左右焦点。椭圆在平面直角坐标系里的标准方程是：



接下来换一个。一个动点，如果和两个定点的距离差是定值，则这个动点的轨迹是双曲线。



上图中，MF1-MF2 是定值 2a ，也是双曲线两个顶点间的距离也就是实轴的长度，其中 F1、F2 分别为双曲线的左右焦点。双曲线在平面直角坐标系里的标准方程是：



椭圆是距离和，因而方程左边是加号，双曲线是距离差，因而方程左边是减号。这两种图形结合起来看，是不是很有美感？

善于思考的读者一定会想，距离的加减都来了，是不是可以考虑一下乘除？会不会冒出其他更好玩的曲线来？

答案的确是肯定的，先拿除法来说。

如果一个动点，离两个定点的距离之比（也就是商）是定值，那么这个动点的曲线是什么？

如果固定比值是 1 ，则此动点是两定点连线的中垂线，这个特殊情况很好理解。

如果固定比值不是 1 ，那曲线是什么呢？可能你会觉得比较复杂，但实际上，距离商定值的轨迹，比和定值、差定值更加简单：是圆。

而且这个圆还有专门称号，叫阿波罗尼奥斯圆。



推导它是圆的结论的过程比较麻烦，我们可以直接给答案，设两个定点 A、B 间的距离是 2c ，俩距离的比值是 k ，那么该动点的方程是：



虽然看上去有点复杂，但可以看出它是 (x+x0)^2+y^2=r^2 的形式，所以是一个圆，而且圆心在：



半径则是：



圆虽然和椭圆、双曲线一样都属于二次曲线，但圆显然比后两者更简单些，原因无它：圆初中就学过，椭圆和双曲线则属于高中知识。

好了，现在剩下最特殊的乘法了。

照例，设两个定点 A、B 间的距离是 2c ，俩距离的积是 k ，建系并列出等式：



化简后得到该曲线的方程：



它是一个四次方程，复杂度远超上面的圆锥曲线。而且它的性质随 k 大小的不同还会有所变化，比如当 k>1 、k=1 、k<1 时，有以下三种形状：



它的正式学名叫“卡西尼卵型线”，当 k<1 时它是两个独立的近似小卵型，当 k>1 时是两个联通因而合二为一的大卵型，当 k=1 时，便是我们熟悉的无穷大符号 ∞ 了。

卡西尼卵型线的曲线簇随 k 变化大概如下图：



或者可以看看动态演示：



全篇看下来，是不是乘法比起其他三种运算来说，更显得复杂，因而更加特殊？

其实，以上结论还可以从“量纲”或者“次数”的角度来定性理解：两个距离量的加减乘除四则运算，加和减，其和差保持和原始距离量相同量纲或次数，除则让商成为了无量纲数或 0 次数，只有乘法，让积的量纲或次数升了一倍，所以从复杂度来讲，乘 > 加 = 减 > 除，这和上面“超纲”的卡西尼卵形线 > 圆锥曲线 > 圆的顺序是一致的。

刘啸说点啥