求 (x+3xy)／(x^2+3y^2+4) 的最大值

波斯猫猫

求证∣(sinα)^n+(cosα)^n∣≤1(n∈Z，n≥2).
思路：显然，[1+(sinα)^(n-2)](sinα)^2≥0，
[1+(cosα)^(n-2)](cosα)^2≥0 (n∈Z，n≥2)，
即 (sinα)^n+(cosα)^n≥-1.
显然，(sinα)^(n-2)≤1，(cosα)^(n-2)≤1(n∈Z，n≥2)，
∴ (sinα)^n≤(sinα)^2，(cosα)^n≤(cosα)^2，
即 (sinα)^n+(cosα)^n≤1.
故 ∣(sinα)^n+(cosα)^n∣≤1.
显然，当且仅当α=kπ,或α=kπ+π/2，k∈Z时
等号成立.

liangchuxu

用归纳推理

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 和  liangchuxu 的帖子很好！已收藏。

luyuanhong

题  当实数 p≥2，q≥2 时，证明 ｜(cosα)^p+(sinα)^q｜≤1 。

证  总可以找到 0≤θ≤π/2 。

    当 α 是第一象限角度时，有 α = 2kπ+θ ，使得 cosα = cosθ ，sinα = sinθ 。

    当 α 是第二象限角度时，有 α = 2kπ+π-θ ，使得 cosα = -cosθ ，sinα = sinθ 。

    当 α 是第三象限角度时，有 α = 2kπ-π+θ ，使得 cosα = -cosθ ，sinα = -sinθ 。

    当 α 是第四象限角度时，有 α = 2kπ-θ ，使得 cosα = cosθ ，sinα = -sinθ 。

    总之，必有

                    ｜cosα｜=cosθ ，｜sinα｜=sinθ 。

    因为  0≤θ≤π/2 ，0≤cosθ≤1 ，0≤sinθ≤1 ，当实数 p≥2，q≥2 时，必有

            (cosθ)^p≤(cosθ)^2 ， (sinθ)^q≤(sinθ)^2 。

    所以

    ｜(cosα)^p+(sinα)^q｜≤｜(cosα)^p｜+｜(sinα)^q｜=｜cosα｜^p +｜sinα｜^q

     = (cosθ)^p + (sinθ)^q ≤ (cosθ)^2 + (sinθ)^2 = 1 。

波斯猫猫

求证∣(sinα)^p+(cosα)^q∣≤1(p，q≥2).
思路：显然，∣(sinα)^p+(cosα)^q∣
≤∣(sinα)^p∣+∣(cosα)^q∣
=∣sinα∣^p+∣cosα∣^q  (p，q≥2)
≤∣sinα∣^2+∣cosα∣^2=1.

liangchuxu

luyuanhong 发表于 2026-7-3 09:03
题  当实数 p≥2，q≥2 时，证明 ｜(cosα)^p+(sinα)^q｜≤1 。

证  总可以找到 0≤θ≤π/2 。

陆老师的思路妙，找最大值，有时只需关注某些区域。