数学趣闻：所有自然数之和等于 -1／12 ？

luyuanhong

数学趣闻：所有自然数之和等于 -1／12 ？

原创  天门老三  天门老三  2026 年 3 月 11 日 08:50  上海

引言：数学是一门学科，也是科学，从人类存在开始到现在，就一直存在、一直在发展。人类对数学知识的不断理解、研究、归纳、拓展，最终利用数学知识及其运用，更深刻的理解自然、理解宇宙。如果将宇宙的终极奥义比作数轴，人类像是无限逼近于数轴的曲线，随着时间的推移，相信会更加接近那个终点，直至达到。

本文归纳于数学趣闻，意于分享一些有趣的数学故事及数学家的故事。

所有自然数之和 S = 1 + 2 + 3 + … + n + … 等于多少？

我们先设 3 个无穷级数

A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …

B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + …

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …

第一步

A = 1 -（1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …）

A = 1 - A

A = 1/2

第二步

B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + …

B =      1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + …

错位相加

2B = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + … = A = 1/2

B = 1/4

第三步

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …

S - B =（ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … ）-（1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + …）

对应相减

S - B = 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + …

S - B = 4（1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …）

S - 1/4 = 4S

S = -1/12

咦？难道自然数之和真的等于 -1/12 ？

当然不对！！！

那上面的证明过程错在哪里呢？第一步错了，第二步错了，第三步也错了。

我们先看第一步，这里的无穷级数 A 随着个数的增加，A 的数值在 1 和 0 之间不停跳转，并不会因为数字增加而趋向一个固定的值，这种级数被称为离散性级数。离散性级数不能参与加减乘除运算，因为它不是这个具体的数值。就像 无穷大 + 无穷大，无穷大 × 无穷大，不能参与加减乘除。

第二步的B也是，B 可以写成（1-2）+（3-4）+（5-6）...，那就是负无穷大。如果写成 1+（-2+3）+（-4+5）+（-6+7）...，那就是正无穷大。这样的数无法参与运算。同样，第三步也有类似的问题。所以，过程错误，结论也是错误的。

数学之神欧拉也做过类似的证明，因此这个结论广为流传。

这时候一定有人说用黎曼 ζ 函数能够证明这个结论。那么我们来说说黎曼 ζ 函数。

黎曼 ζ 函数的表达式是这样的： 设一复数 s ，其实数部分 >1，则：



当 s=-1 的时候，ζ（-1）= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... ，这和自然数之和的表达式一样的，人们就觉得两者是一样的。

黎曼 ζ 函数亦可以用积分定义：



通过这个等式，取 s=-1 ，等出来的结果 ζ（-1）= -1/12 。

再联合上面的表达式，得到  ζ（-1）= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12 。

这个推导结论是正确的，但是很多人忽略了一点，定义域发生了变化。

自然数之和 S= 1 + 2 + 3 + … + n + … 它的定义域是自然数（实数） 。

而 ζ（-1）= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12 的定义域是复数。

所以只是恰好看上去是一样的，但是其本质不一样。

取个不恰当的例子：1 加到 10 等于多少？当然是 55 。但我说还要加上中间的 0.5 、1.5 、2.5 ... 当然结果就不一样了。前者是整数，后者有小数，虽然都在 1 和 10 之间，定义域发生了变化，结果也就不一样了。（如果你有一定的数学基础，去了解一下函数的“解析延拓”，对这个问题的理解会有所帮助。）

所以，所有自然数之和 S = 1 + 2 + 3 + … + n + … 并不等于 -1/12 ，它是无穷大。

天门老三