崔坤的哥猜表法数远远优于哈-李渐近式

愚工688 · 发表于 2026-4-12 10:43

哈代公式的计算是用 2*C(N)*N/[Log(N)]^2≥(1.32)N/[Log(N)]^2,但是如果作为双记值的系数，则会使得相对误差很大。不知道是谁想出来是双记值的。

Hd(N)=1.32*c1*N/(logN)^2  ; Zuo(N)= c1*pi(N)^2/N; Sp(m)=(A-2)*P(m)

  S( 100 )= 6    ,Sp( 100 )= 4.5714    ,δ(m)=-.2381       δ1=-.0857
  c1( 100 ) =  .8818358       ;Hd(N)= 5.49       δh( 100 )=-.5425
  C2B( 100 )= 1.333333       ;Zuo( 100 )= 5.5115    Δz( 100 )=-.0814

  S( 200 )= 8    ,Sp( 200 )= 6.4615    ,δ(m)=-.1923       δ1= .0769
  c1( 200 ) =  .8808773       ;Hd(N)= 8.28       δh( 200 )=-.4825
  C2B( 200 )= 1.333333       ;Zuo( 200 )= 9.3197    Δz( 200 )= .165

  S( 300 )= 21    ,Sp( 300 )= 17.2204    ,δ(m)=-.18       δ1=-.0937
  c1( 300 ) =  1.761299       ;Hd(N)= 21.44       δh( 300 )=-.4895
  C2B( 300 )= 2.666667       ;Zuo( 300 )= 22.5681    Δz( 300 )= .0747

  S( 400 )= 14    ,Sp( 400 )= 10.3065    ,δ(m)=-.2638       δ1=-.063
  c1( 400 ) =  .8805317       ;Hd(N)= 12.95       δh( 400 )=-.5375
  C2B( 400 )= 1.333333       ;Zuo( 400 )= 13.3929    Δz( 400 )=-.0434

  S( 500 )= 13    ,Sp( 500 )= 12.9092    ,δ(m)=-.007       δ1= .0758
  c1( 500 ) =  .8804567       ;Hd(N)= 15.05       δh( 500 )=-.4212
  C2B( 500 )= 1.333333       ;Zuo( 500 )= 15.8922    Δz( 500 )= .2225

  S( 600 )= 32    ,Sp( 600 )= 28.326    ,δ(m)=-.1148       δ1=-.0232
  c1( 600 ) =  1.760832       ;Hd(N)= 34.08       δh( 600 )=-.4675
  C2B( 600 )= 2.666667       ;Zuo( 600 )= 34.8674    Δz( 600 )= .0896

  S( 700 )= 24    ,Sp( 700 )= 19.8472    ,δ(m)=-.173       δ1=-.0979
  c1( 700 ) =  1.056458       ;Hd(N)= 22.75       δh( 700 )=-.526
  C2B( 700 )= 1.6             ;Zuo( 700 )= 23.5817    Δz( 700 )=-.0174

  S( 800 )= 21    ,Sp( 800 )= 18.9157    ,δ(m)=-.0993       δ1=-.0044
  c1( 800 ) =  .8803599       ;Hd(N)= 20.81       δh( 800 )=-.5045
  C2B( 800 )= 1.333333       ;Zuo( 800 )= 21.2618    Δz( 800 )= .0125

  S( 900 )= 48    ,Sp( 900 )= 39.6472    ,δ(m)=-.174       δ1=-.0989
  c1( 900 ) =  1.760682       ;Hd(N)= 45.2       δh( 900 )=-.5292
  C2B( 900 )= 2.666667       ;Zuo( 900 )= 46.3959    Δz( 900 )=-.0334

  S( 1000 )= 28 ,Sp( 1000 )= 20.6144 ,δ(m)=-.2638       δ1=-.1411
  c1( 1000 ) =  .8803274       ;Hd(N)= 24.35       δh( 1000 )=-.5652
  C2B( 1000 )= 1.333333       ;Zuo( 1000 )= 24.8464 Δz( 1000 )=-.1126

  S( 1100 )= 28 ,Sp( 1100 )= 25.2046 ,δ(m)=-.0998       δ1= .0502
  c1( 1100 ) =  .9781272       ;Hd(N)= 28.96       δh( 1100 )=-.4829
  C2B( 1100 )= 1.481482       ;Zuo( 1100 )= 30.105    Δz( 1100 )= .0752

  S( 1200 )= 54 ,Sp( 1200 )= 49.5076 ,δ(m)=-.0832       δ1=-.0098
  c1( 1200 ) =  1.760612       ;Hd(N)= 55.48       δh( 1200 )=-.4863
  C2B( 1200 )= 2.666667       ;Zuo( 1200 )= 56.3631 Δz( 1200 )= .0438

  S( 1300 )= 33 ,Sp( 1300 )= 29.262    ,δ(m)=-.1133       δ1= .009
  c1( 1300 ) =  .9603249       ;Hd(N)= 32.05       δh( 1300 )=-.5144
  C2B( 1300 )= 1.454545       ;Zuo( 1300 )= 32.8882 Δz( 1300 )=-.0034

  S( 1400 )= 34 ,Sp( 1400 )= 32.7977 ,δ(m)=-.0354       δ1=-.0061
  c1( 1400 ) =  1.056351       ;Hd(N)= 37.2       δh( 1400 )=-.4529
  C2B( 1400 )= 1.6          ;Zuo( 1400 )= 37.1866 Δz( 1400 )= .0937

  S( 1500 )= 67 ,Sp( 1500 )= 58.5786 ,δ(m)=-.1257       δ1=-.0397
  c1( 1500 ) =  1.760571       ;Hd(N)= 65.18       δh( 1500 )=-.5136
  C2B( 1500 )= 2.666667       ;Zuo( 1500 )= 67.0437 Δz( 1500 )= .0007

  S( 1600 )= 36 ,Sp( 1600 )= 31.2471 ,δ(m)=-.132       δ1=-.0531
  c1( 1600 ) =  .8802806       ;Hd(N)= 34.16       δh( 1600 )=-.5256
  C2B( 1600 )= 1.333333       ;Zuo( 1600 )= 34.6616 Δz( 1600 )=-.0372

  S( 1700 )= 34 ,Sp( 1700 )= 33.6909 ,δ(m)=-.0091       δ1= .123
  c1( 1700 ) =  .9389607       ;Hd(N)= 38.08       δh( 1700 )=-.44
  C2B( 1700 )= 1.422222       ;Zuo( 1700 )= 39.0807 Δz( 1700 )= .1494

  S( 1800 )= 75 ,Sp( 1800 )= 66.8951 ,δ(m)=-.1081       δ1=-.0444
  c1( 1800 ) =  1.760545       ;Hd(N)= 74.45       δh( 1800 )=-.5037
  C2B( 1800 )= 2.666667       ;Zuo( 1800 )= 75.59    Δz( 1800 )= .0079

  S( 1900 )= 36 ,Sp( 1900 )= 35.648    ,δ(m)=-.0098       δ1= .0802
  c1( 1900 ) =  .93205          ;Hd(N)= 41.01       δh( 1900 )=-.4304
  C2B( 1900 )= 1.411765       ;Zuo( 1900 )= 41.2555 Δz( 1900 )= .146

  S( 2000 )= 37 ,Sp( 2000 )= 35.4433 ,δ(m)=-.0421       δ1= .0424
  c1( 2000 ) =  .8802664       ;Hd(N)= 40.22       δh( 2000 )=-.4565
  C2B( 2000 )= 1.333333       ;Zuo( 2000 )= 40.4082 Δz( 2000 )= .0921

愚工688 · 发表于 2026-4-12 10:58

我对哈-李公式使用修正系数的效果

偶数M的素数对计算式 Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2

  式中：动态修正系数 t2=1.358-log(M)^(0.5)*.05484; (范围：t2＞1）
      log(M)——自然对数；
      C1--类似拉曼扭杨系数C(N)，略作改进；（只计算√M内的素数）
      jd(m)——偶数M的素对计算值Xi(M)的精度；

  G( 100 ) = 6          ;Xi(M)≈ 5.33             jd(m)≈ ? 0.8883；
  G( 102 ) = 8          ;Xi(M)≈ 8.08             jd(m)≈ ? 1.01；
  G( 104 ) = 5          ;Xi(M)≈ 4.09             jd(m)≈ ? 0.818；
  G( 106 ) = 6          ;Xi(M)≈ 4.13             jd(m)≈ ? 0.6883；
  G( 108 ) = 8          ;Xi(M)≈ 8.35             jd(m)≈ ? 1.0438；
  time start =11:04:37, time end =11:04:37

  G(1000) = 28          ;Xi(M)≈ 22.54          jd(m)≈ ? 0.805；
  G(1002) = 36          ;Xi(M)≈ 33.85          jd(m)≈ ? 0.94028；
  G(1004) = 18          ;Xi(M)≈ 16.95          jd(m)≈ ? 0.94167；
  G(1006) = 18          ;Xi(M)≈ 16.97          jd(m)≈ ? 0.94278；
  G(1008) = 42          ;Xi(M)≈ 40.79          jd(m)≈ ? 0.97119；
  time start =11:04:49, time end =11:04:49
  G(10000) = 127          ;Xi(M)≈ 123.87          jd(m)≈ ? 0.97535；
  G(10002) = 197          ;Xi(M)≈ 185.83          jd(m)≈ ? 0.94330；
  G(10004) = 99          ;Xi(M)≈ 96.93000000000001 jd(m)≈ ? 0.97910；
  G(10006) = 92          ;Xi(M)≈ 92.94          jd(m)≈ ? 1.01022；
  G(10008) = 192          ;Xi(M)≈ 185.92          jd(m)≈ ? 0.96833；
  time start =11:04:54, time end =11:04:54
  G(100000) = 810       ;Xi(M)≈ 778.61          jd(m)≈ ? 0.96123；
  G(100002) = 1423    ;Xi(M)≈ 1401.51          jd(m)≈ ? 0.98489；
  G(100004) = 627       ;Xi(M)≈ 611.78          jd(m)≈ ? 0.97573；
  G(100006) = 630       ;Xi(M)≈ 604.12          jd(m)≈ ? 0.95892；
  G(100008) = 1209    ;Xi(M)≈ 1167.98          jd(m)≈ ? 0.96609；
  time start =11:05:05, time end =11:05:05
  G(1000000) = 5402       ;Xi(M)≈ 5323.26          jd(m)≈ ? 0.98538；
  G(1000002) = 8200       ;Xi(M)≈ 7984.91          jd(m)≈ ? 0.97378；
  G(1000004) = 4160       ;Xi(M)≈ 4117.53          jd(m)≈ ? 0.98990；
  G(1000006) = 4871       ;Xi(M)≈ 4790.96          jd(m)≈ ? 0.98358；
  G(1000008) = 9380       ;Xi(M)≈ 9238.25          jd(m)≈ ? 0.98486；
  time start =11:05:12, time end =11:05:13
  G(10000000) = 38807    ;Xi(M)≈ 38552.75       jd(m)≈ ? 0.99345；
  G(10000002) = 59624    ;Xi(M)≈ 59114.23       jd(m)≈ ? 0.99145；
  G(10000004) = 36850    ;Xi(M)≈ 36738.51       jd(m)≈ ? 0.99699；
  G(10000006) = 29835    ;Xi(M)≈ 29603          jd(m)≈ ? 0.99222；
  G(10000008) = 58229    ;Xi(M)≈ 57829.16       jd(m)≈ ? 0.99313；
  time start =11:05:22, time end =11:05:22
  G(100000000) = 291400 ;Xi(M)≈ 291217.74       jd(m)≈ ? 0.99937；
  G(100000002) = 464621 ;Xi(M)≈ 463540.71       jd(m)≈ ? 0.99768；
  G(100000004) = 247582 ;Xi(M)≈ 247142.31       jd(m)≈ ? 0.99822；
  G(100000006) = 218966 ;Xi(M)≈ 218859.97       jd(m)≈ ? 0.99952；
  G(100000008) = 437717 ;Xi(M)≈ 436826.64       jd(m)≈ ? 0.99797；
  time start =11:05:30, time end =11:05:33
  G(1000000000) = 2274205  ;Xi(M)≈ 2271715.94       jd(m)≈ ? 0.99891；
  G(1000000002) = 3496205  ;Xi(M)≈ 3495130.33       jd(m)≈ ? 0.99969；
  G(1000000004) = 1747858  ;Xi(M)≈ 1747473.79       jd(m)≈ ? 0.99978；
  G(1000000006) = 1704301  ;Xi(M)≈ 1703786.93       jd(m)≈ ? 0.99970；
  G(1000000008) = 4151660  ;Xi(M)≈ 4152318.47       jd(m)≈ ? 1.00016；
  time start =11:05:41, time end =11:05:50

  G(10000000000) = 18200488 ;Xi(M)≈ 18176704.15    jd(m)≈ ? 0.99869；
  G(10000000002) = 27302893 ;Xi(M)≈ 27265055.61    jd(m)≈ ? 0.99861；
  G(10000000004) = 13655366 ;Xi(M)≈ 13632527.81    jd(m)≈ ? 0.99833；
  G(10000000006) = 13742400 ;Xi(M)≈ 13725265.73    jd(m)≈ ? 0.99875；
  G(10000000008) = 27563979 ;Xi(M)≈ 27524721.79    jd(m)≈ ? 0.99858；
  time start =12:38:31, time end =12:39:15

  G(100000000000) = 149091160 ;Xi(M)≈ 148458403.95    jd(m)≈ ? 0.99576；
  G(100000000002) = 268556111 ;Xi(M)≈ 267398538.1    jd(m)≈ ? 0.99569；
  G(100000000004) = 111836359 ;Xi(M)≈ 111350133.8    jd(m)≈ ? 0.99565；
  G(100000000006) = 111843604 ;Xi(M)≈ 111372029.08    jd(m)≈ ? 0.99578；
  G(100000000008) = 223655943 ;Xi(M)≈ 222687600.92    jd(m)≈ ? 0.99567；

  time start =12:33:03, time end =12:36:37

  G( 1000000000000 ) = 1243722370 ;Xi(M)≈ 1233313937.7    jd(m)≈ ? 0.99163；
  G( 1000000000002 ) = 1865594604 ;Xi(M)≈ 1849970864.79    jd(m)≈ ? 0.99163；
  G( 1000000000004 ) = 1006929938 ;Xi(M)≈ 998459235.3    jd(m)≈ ? 0.99159；
  G( 1000000000006 ) = 1121226810 ;Xi(M)≈ 1111817180.05    jd(m)≈ ? 0.99161；
  G( 1000000000008 ) = 1866732390 ;Xi(M)≈ 1851081940.46    jd(m)≈ ? 0.99162；
  time start =12:39:47, time end =12:57:12

cuikun-186 · 发表于 2026-4-12 11:00

本帖最后由 cuikun-186 于 2026-4-12 11:22 编辑

【1】双记法是哈代大师通过圆法给出的，坐标圆在解析图像上是有对称点的位置的。

例如8=3+5=5+3，就对应在坐标系中的（3，5）和（5，3）两个不同的点。

【2】实际上，哥德巴赫猜想问题不是哥德巴赫最早提出来的，而是有坐标系之父笛卡尔早于哥德巴赫100多年前提出来的，

即强哥德巴赫猜想问题是关于坐标点的问题。

【3】关于系数，王元说：对于充分大偶数，最好是2或者更大一些。

【4】实际上对于充分大偶数，崔坤给出的r2(N)≥[1.69755N/(lnN)^2]的值已经非常接近真值了！

为甚要扩大2倍？这是因为在奇数数列中的奇数个数是N/2,密度当然是接近：2π(N）/N。

而在自然数即包含偶数的集合中的密度就是π(N）/N。

愚工688 · 发表于 2026-4-12 11:11

本帖最后由愚工688 于 2026-4-12 03:15 编辑

王守恩发表于 2026-4-11 08:13
如有兴趣——这个容易些——试试？？？——我的电脑(学习版)做不了。

a(0)=0

Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2  ; t2=1.358-(log(M))^(.5)*0.05484

  S( 32 ) =  2       ;Xi(M)≈ 2.35       δxi( 32 )≈0.175
  S( 64 ) =  5       ;Xi(M)≈ 3.15       δxi( 64 )≈-0.37
  S( 128 ) =  3       ;Xi(M)≈ 4.55       δxi( 128 )≈0.5167
  S( 256 ) =  8       ;Xi(M)≈ 6.88       δxi( 256 )≈-0.14
  S( 512 ) =  11       ;Xi(M)≈ 10.72       δxi( 512 )≈-0.0254545
  S( 1024 ) = 22       ;Xi(M)≈ 17.19       δxi( 1024 )≈-0.218636

  S( 2048 ) =  25       ;Xi(M)≈ 28.19       δxi( 2^11 )≈0.1276
  S( 4096 ) =  53       ;Xi(M)≈ 47.04       δxi( 2^12 )≈-0.112453
  S( 8192 ) =  76       ;Xi(M)≈ 79.64       δxi( 2^13 )≈ 0.047895
  S( 16384 ) = 151       ;Xi(M)≈ 136.54    δxi( 2^14 )≈-0.095762
  S( 32768 ) = 244       ;Xi(M)≈ 236.57    δxi( 2^15 )≈-0.030451

  S( 65536 ) =  435    ;Xi(M)≈ 413.69    δxi( 2^16 )≈-0.048989
  S( 131072 ) = 749    ;Xi(M)≈ 729.25    δxi( 2^17 )≈-0.026368
  S( 262144 ) =  1314    ;Xi(M)≈ 1294.71    δxi( 2^18 )≈-0.014680
  S( 524288 ) = 2367    ;Xi(M)≈ 2313.23    δxi( 2^19 )≈-0.022717
  S( 1048576 ) = 4239    ;Xi(M)≈ 4156.51    δxi( 2^20 )≈-0.019460

  S( 2097152 ) = 7471    ;Xi(M)≈ 7506.91    δxi( 2^21 )≈ 0.004807
  S( 4194304 ) = 13705    ;Xi(M)≈ 13620.93    δxi( 2^22 )≈-0.006134
  S( 8388608 ) = 24928    ;Xi(M)≈ 24819.19    δxi( 2^23 )≈-0.004365
  S( 16777216 ) = 45746    ;Xi(M)≈ 45398.93    δxi( 2^24 )≈-0.007587
  S( 33554432 ) = 83467    ;Xi(M)≈ 83337.58    δxi( 2^25 )≈-0.001551

  S( 67108864 ) = 153850    ;Xi(M)≈ 153483.88 δxi(2^26 )≈-0.002380
  S( 134217728 ) = 283746 ;Xi(M)≈ 283528.56 δxi( 2^27 )≈-0.000766
  S( 268435456 ) = 525236 ;Xi(M)≈ 525228.14 δxi( 2^28 )≈-0.000015
  S( 536870912 ) = 975685 ;Xi(M)≈ 975509.16 δxi( 2^29 )≈-0.000180
  S( 1073741824 ) = 1817111 ;Xi(M)≈ 1816227.65 δxi( 2^30 )≈-0.000486

  S( 2147483648 ) = 3390038 ;Xi(M)≈ 3389190.8 δxi( 2^31 )≈-0.000250
  S( 4294967296 ) =  6341424  ;Xi(M)≈ 6337909.38 δxi( 2^32 )≈-0.000554
  S( 8589934592 ) = 11891654 ;Xi(M)≈ 11875825.44  δxi( 2^33 )≈-0.001331
  S( 17179869184 ) = 22336060  ;Xi(M)≈ 22294496.84  δxi( 2^34 )≈-0.001861
  S( 34359738368 ) = 42034097  ;Xi(M)≈ 41927656.25  δxi( 2^35 )≈-0.002532

  S( 68719476736 ) = 79287664 ;Xi(M)≈ 78982220.05  δxi( 2^36 )≈-0.003852
  S( 137438953472 ) = 149711134 ;Xi(M)≈ 149019955.08 δxi( 2^37 )≈-0.004617
  S( 274877906944 ) = 283277225  ;Xi(M)≈ 281584876.49 δxi( 2^38 )≈-0.005021
  S( 549755813888 ) = 536710100  ;Xi(M)≈ 532832300.04 δxi( 2^39 )≈-0.007225
  S( 1099511627776 ) = 1018369893;Xi(M)≈ 1009617578.58 δxi( 2^40 )≈-0.0085944

继续计算2^41——2^49 的大偶数：
  S( 2199023255552 ) = 1934814452;Xi(M)≈ 1916830532.83 δxi( 2^41 )≈-0.0092949
  S( 4398046511104 ) = 3680759328;Xi(M)≈ 3641170075.43 δxi( 2^42 )≈-0.0107557
  S( 8796093022208 ) = 7010898161,;Xi(M)≈ 6924733000.9 δxi( 2^43 )≈-0.0122902
  S( 17592186044416 ) = 13369466800 ;Xi(M)≈ 13183991780.56 δxi( 2^44 )≈-0.013873
  S( 35184372088832 ) = 25522944188 ;Xi(M)≈ 25127598793.84  δxi( 2^45 )≈-0.0154898
  S( 70368744177664 ) = 48776696083  ;Xi(M)≈ 47939685565.22  δxi( 2^46)≈-0.0171600
  S( 140737488355328 ) =93311971184 ;Xi(M)≈ 91550483926.22  δxi( 2^47 )≈-0.0188774
  S( 281474976710656 ) =  178680063951 ;Xi(M)≈ 174996600254.86 δxi( 2^48)≈-0.0206149
  S(2^49)= G( 562949953421312 ) = 342469661688;Xi(M)≈ 334800172357.88 δxi( 2^49)≈-0.022395

  S(2^50)= s(1125899906842624)= 656978437719 (133767.06 sec)~37.1575小时。太费时了。

愚工688 · 发表于 2026-4-12 20:26

为什么哈-李公式被称作ha-李渐近式？
谁能够说清楚？

愚工688 · 发表于 2026-4-12 20:59

看看我昨天使用哈-李改进式计算的连续偶数的精度，精度之高连我自己也感到吃惊：

偶数M的素数对计算式 Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2

  式中：动态修正系数 t2=1.358-log(M)^(0.5)*.05484; (范围：t2＞1）
      log(M)——自然对数；
      C1--类似拉曼扭杨系数C(N)，略作改进；（只计算√M内的素数）
      jd(m)——偶数M的素对计算值Xi(M)的精度；

  G( 202641100 ) = ?    ;Xi(M)≈ 553072.17       jd(m)≈ ? 0.99998；
  G( 202641102 ) = ?    ;Xi(M)≈ 817756.72       jd(m)≈ ? 0.99961；
  G( 202641104 ) = ?    ;Xi(M)≈ 408878.37       jd(m)≈ ? 0.99994；
  G( 202641106 ) = ?    ;Xi(M)≈ 419362.44       jd(m)≈ ? 0.99676；
  G( 202641108 ) = ?    ;Xi(M)≈ 817756.75       jd(m)≈ ? 0.99939；
  G( 202641110 ) = ?    ;Xi(M)≈ 676764.18       jd(m)≈ ? 0.99958；
  G( 202641112 ) = ?    ;Xi(M)≈ 420097.72       jd(m)≈ ? 1.00054；
  G( 202641114 ) = ?    ;Xi(M)≈ 892098.21       jd(m)≈ ? 0.99807；
  G( 202641116 ) = ?    ;Xi(M)≈ 408878.36       jd(m)≈ ? 0.99885；
  G( 202641118 ) = ?    ;Xi(M)≈ 432930.02       jd(m)≈ ? 0.99812；
  time start =13:31:19, time end =13:31:26

偶数1+1真值使用深圳 Huang Yuanbing 博士赠予的软件《FastGn》得出
202641100:10:2

G(202641100) = 553082
G(202641102) = 818074
G(202641104) = 408903
G(202641106) = 420724
G(202641108) = 818257
G(202641110) = 677051
G(202641112) = 419871
G(202641114) = 893822
G(202641116) = 409347
G(202641118) = 433745

count = 10, algorithm = 2, working threads = 2, time use 0.037 sec

yangchuanju · 发表于 2026-4-12 21:07

愚工688 发表于 2026-4-12 20:59
看看我昨天使用哈-李改进式计算的连续偶数的精度，精度之高连我自己也感到吃惊：

请奚老师抽空看一看我的帖子
哥猜素数对第二个连乘积中的p究竟该怎么取？
http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1
并给以指教！

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崔坤的哥猜表法数远远优于哈-李渐近式

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