已知 x＞0 ，y＞0 ，求 x／(2x+y)+y／(x+2y) 的最大值

luyuanhong

已知 x＞0 ，y＞0 ，求 x／(2x+y)+y／(x+2y) 的最大值

原创  艾尚数学  2026 年 4 月 1 日 12:35  浙江
   


艾尚数学

波斯猫猫

令2x+y=m，x+2y=n，
则x=(2m-n)/3，y=(2n-m)/3.
∴ x／(2x+y)+y／(x+2y)
=(2m-n)/(3m)+(2n-m)/(3n)
=4/3-(n/m+m/n)/3
≤4/3-2/3=2/3.

波斯猫猫

令t=x／(2x+y)+y／(x+2y)，                                 
则(2t-1)x^2+(5t-4)yx+(2t-1)y^2=0.  (1)
∴ (5t-4)^2y^2-4(2t-1)^2y^2≥0，
(5t-4)^2-4(2t-1)^2≥0，
3t^2-8t+4≥0，
(3t-2)(t-2)≥0，解得t≤2/3，或t≥2.
当t≥2时，易得(x+y)^2≤0，显然与条件矛盾.
当x=0，或y=0时，t=1/2.
故t≤2/3.