\(\huge\color{red}{\textbf{\(0<0.\dot 0 1<<0.\dot 99<1\)}}\)

APB先生

      无穷小小数\(0.\dot{0}1\)是小数\(0.1\)的无穷乘积：\[0.\dot{0}1=0.1\times0.1\times\cdots=0.1^{\infty}=0.1\oplus0\oplus0\oplus\cdots\]
      显然在\(0.\dot{0}1\)的小数点与\(1\)之间，无论加入多少个\(0\)，\(1\)是永远不会消失的；因此恒有不等式\[0<0.\dot{0}1\]
      如果\(0.\dot{0}1=0\)，则会导致矛盾\(1=0\)；因此\(0.\dot{0}1\ne0\)。
      区间\(\left[ 0{,}1\right]\)的无穷大小数\(0.\dot{9}9\)则是小数\(0.\dot{0}1\)的倍数：\[0.\dot{9}9=0.\dot{0}1\times\dot{9}9\]
      如果\(0.\dot{0}1=0\)，也会导致矛盾\(0.\dot{9}9=0\)：\[\left( 0.\dot{0}1=0\right)\Rightarrow\left( 0.\dot{9}9=0.\dot{0}1\times\dot{9}9\right)\Rightarrow\left( 0.\dot{9}9=0\times\dot{9}9\right)\Rightarrow\left( 0.\dot{9}9=0\right)\]
      因此有不等式链\[0<0.\dot{0}1\ll0.\dot{9}9<1\]