在抛物线 Γ：(x-1)^2=8(y+1) 上恒有 P,Q 两点关于直线 L：x-y=k 对称，求 k 取值范围

wintex

請問數學

Ysu2008

【解】P、Q关于直线 L 对称，直线 PQ 必然垂直 L，设直线 PQ 的Y轴截距为 c ，则直线 PQ 方程为 \(y=-x+c\)
与抛物线联立得到二次方程
\(\begin{cases}
\left( x-1\right)^2=8\left( y+1\right)\\
y=-x+c
\end{cases}\Rightarrow x^2+6x-8c-7=0\)
要使得直线 PQ 与抛物线有两个相异交点，上式判别式必须大于 0 ，从而得到 c 的取值范围 \(6^2-4\left( -8c-7\right)=64+32c>0\Rightarrow c>-2\)
再具体求出交点P、Q坐标：
\(\begin{cases}
\left( x-1\right)^2=8\left( y+1\right)\\
y=-x+c
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
P\left( -3-2\sqrt{2c+4}{,}2\sqrt{2c+4}+c+3\right)\\
Q\left( -3+2\sqrt{2c+4}{,}-2\sqrt{2c+4}+c+3\right)
\end{cases}\)

从而得到线段 PQ 的中点坐标 \(\begin{cases}
x=\frac{P_x+Q_x}{2}=\frac{-3-2\sqrt{2c+4}-3+2\sqrt{2c+4}}{2}=-3\\
y=\frac{P_y+Q_y}{2}=\frac{2\sqrt{2c+4}+c+3-2\sqrt{2c+4}+c+3}{2}=c+3
\end{cases}\)

中点必在直线 L 上，将中点坐标代入 L 方程得到 k 与 c 的关系式 \(-3-\left( c+3\right)=k\Rightarrow-6-k=c\)

从而得到 k 的取值范围  \(\begin{cases}
-6-k=c\\
c>-2
\end{cases}\Rightarrow-6-k>-2\Rightarrow-k>4\Rightarrow k<-4\)

luyuanhong

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