那个被柏林退稿、惹高斯打听、让勒让德鼓掌的年轻人

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那个被柏林退稿、惹高斯打听、让勒让德鼓掌的年轻人

原创  南方 Er  南方 Er  2026 年 4 月 17 日 07:29  广东

                        

你辛辛苦苦埋头写了篇论文，投出去，评审说“没什么价值”。你窝火，但多半也就认了。可要是二十岁出头的你，发现自己琢磨出来的东西，跟数学界两位泰山北斗撞了车，其中一个还公开表示“我早就想写了”，那种压力得有多大？

什么样的人，能在二十几岁就逼得欧洲最顶尖的数学家不得不正视他的存在？

卡尔·古斯塔夫·雅各布·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）。一个在普鲁士小城波茨坦出生的犹太人后代，用了不到十年时间，把椭圆函数、微分方程、行列式理论搅了个天翻地覆。他活到四十六岁，糖尿病把他带走了。可他留下的那些手稿，至今还在高等数学教材里闪着冷光。

我第一次对雅可比这个名字产生实感，不是在数学课上，而是在一本旧得发脆的数学史文集里。书上说他二十三岁就在柯尼斯堡大学拿到了教职，二十八岁晋升正教授，面对四个小时的拉丁语答辩面不改色。我当时合上书，脑子里只有一个念头：这人怎么做到的？要知道，在十九世纪初的德国，一个犹太人出身、刚从中学教职爬进大学的人，要站稳脚跟，光靠聪明远远不够。

雅可比出生在一八〇四年的波茨坦，父亲西蒙·雅可比是个银行家，家境殷实。家里三个儿子，老大莫里茨后来成了有名的物理学家，老三爱德华接了父亲的班做银行。雅可比排行老二，从小跟着舅舅念书，天资好得让学校老师头疼——十二岁那年，刚进波茨坦文理中学一年级，就被直接扔进了毕业班。问题是柏林大学不收十六岁以下的学生，他只好在同一个班级里硬生生耗了四年，把拉丁文、希腊文和历史都刷到了最高奖。数学呢？学校教不了他，他自己啃欧拉（Leonhard Euler）的《无穷分析引论》，自己琢磨用根式解五次方程。说实话，一个中学生闷头研究五次方程，搁在今天大概会被当成竞赛生培养，搁在两百年前，他就是个异类。

一八二一年，十七岁的雅可比进了柏林大学。他犹豫了整整两年，在哲学、古典学和数学之间来回横跳，最后选了数学。那时候德国大学的数学教育质量，说句不好听的，相当平庸。雅可比基本上靠自学，读拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange），读那些顶尖数学家的原著。到一八二四年末，他已经通过了教师资格考试，能教数学、希腊文和拉丁文。第二年，他拿到柏林一所顶尖中学的教职，同时提交了博士论文。


雅可比

到这里，雅可比的人生剧本还算顺利。真正让他第一次撞上墙的，是一八二五年投给柏林科学院的那篇关于迭代函数的论文。评审的意见很干脆：不值得发表。这篇稿子在档案里躺了一百三十六年，直到一九六一年才被人翻出来出版，附带的评注里，编者把当年的评审狠狠批了一通。雅可比当时肯定不好受，但他没在这堵墙前面站太久。他改宗基督教，扫清了进大学的最后一道障碍，随即在柏林大学开课。

不过柏林的前景并不明朗。同行的建议是：去柯尼斯堡。一八二六年五月，雅可比到了那里，和比他早一年拿到博士学位的弗朗茨·诺伊曼（Franz Neumann）、天文学教授贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel）成了同事。这三个人后来组成了柯尼斯堡数学和物理复兴的核心三角，但那都是后话。

真正把雅可比从柯尼斯堡一个普通讲师推上欧洲数学舞台的，是两件事：数论里的三次剩余，和椭圆函数的新理论。

他在到柯尼斯堡之前就已经在数论上捅出了窟窿。读高斯（Carl Friedrich Gauss）关于二次剩余和双二次剩余的论文读得入了迷，自己搞出了三次剩余的结果，然后干了一件在那个年代需要巨大勇气的事——直接给高斯写信。高斯是什么人？数学界的奥林匹斯山，平时收到年轻学者的来信多半是礼貌地回几句。但这回不一样。高斯读完信，居然主动写信给贝塞尔打听这个年轻人的底细。能让高斯放下身段去打听一个后辈，雅可比大概是头一个。

更狠的是椭圆函数。雅可比在这个领域里的突破，和挪威人阿贝尔（Niels Henrik Abel）几乎是同步的。两个人彼此不认识，各自在黑暗中摸到了同一扇门。


勒让德

一八二七年八月，雅可比给勒让德（Adrien-Marie Legendre）写了封信。勒让德是当时椭圆积分领域的绝对权威，花了几十年心血在这个课题上。信寄到巴黎，勒让德读完之后，反应出人意料地大度。他没有因为被两个年轻人抢了风头而恼怒，反而在一八二八年二月给雅可比的回信里写道：“看到两位年轻数学家——你和阿贝尔——在分析学的一个分支上取得如此成就，我无比欣慰。这个领域曾是我最钟爱的研究课题，却在我的祖国没有得到应有的重视。凭借你们的工作，你们已经跻身这个时代最优秀的分析学家之列。”

勒让德的称赞不只是客套。雅可比一八二七年十二月晋升副教授，很大程度上靠的就是勒让德在背后使劲推荐。一八二九年，雅可比发表了《椭圆函数新理论基础》，用四个 θ 函数重新搭建了整个理论框架。这套东西后来成了椭圆函数的标准语言。也是在同一年夏天，他去巴黎访问，见到了勒让德本人，还见了傅里叶（Joseph Fourier）和泊松（Siméon Denis Poisson）。路上他在哥廷根停留，拜访了高斯。两个时代的巨人在那一刻有了短暂的物理交集。

但椭圆函数这块地盘，雅可比没能独占。阿贝尔几乎在同一时间做出了同样深刻的贡献。两个人之间有没有竞争？勒让德在一八二九年初给雅可比的一封信里说得最传神：“先生们，你们在所有这些绝妙的思辨中推进得如此迅速，我几乎追不上你们——尤其对一个老人来说……我庆幸自己活得够久，得以目睹两位同样健壮的年轻运动员之间这场壮丽的角力，他们倾尽全力推动科学的边界，越推越远。”信寄出几周后，阿贝尔死了。那年他才二十六岁。

雅可比的路还在继续。一八三一年九月他和玛丽·施温克结婚，次年五月通过一场长达四小时的拉丁语答辩，升为正教授。他在柯尼斯堡搞起了研讨班，带着一帮学生读最新的数学文献。那种教学方式在当时是革命性的——不是照本宣科，而是把学生拉到研究前沿，让他们亲眼看看数学是怎么被创造出来的。他周围迅速聚起了一个圈子：博尔夏特（Carl Wilhelm Borchardt）、海涅（Eduard Heine）、黑塞（Ludwig Otto Hesse）、里歇洛（Friedrich Julius Richelot）、罗森海因（Johann Georg Rosenhain）、赛德尔（Philipp Ludwig von Seidel）。这些人后来各自成了气候，把雅可比的那套研究精神和教学态度撒向了整个德国。


雅可比

雅可比的研究范围宽得吓人。他在一阶偏微分方程上做出了奠基性工作，把这些方程用到了动力学微分方程里。他研究行列式，写下了那篇著名的《论函数行列式》长篇论文，证明了 n 个 n 元函数如果函数相关，雅可比行列式恒为零，如果函数独立，行列式不能恒为零。这个行列式后来干脆就姓了雅可比——虽然柯西（Augustin-Louis Cauchy）早在一八一五年就已经接触过它。雅可比还证明了，如果一个单值单变量函数是双周期的，那么周期的比值一定是非实数。这个结果刺激了刘维尔（Joseph Liouville）和柯西继续在这个方向上深挖。

他最漂亮的一个定理，或许是一八四二年那个关于空间闭曲线的结果。一条空间闭曲线上的法线方向在单位球面上的像，会把球面划分成面积相等的两块。这个定理的表述甚至只是他回应克劳森（Thomas Clausen）批评的一篇论文里的附注，随手一写，就是经典。

命运在一八四三年给了雅可比一记重拳。他身体垮了，确诊糖尿病。医生建议他去意大利，那边气候暖和，对身体好。问题是雅可比没钱。他父亲留下的那笔遗产，在席卷全欧的商业萧条中打了水漂。狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）去看了他，转头就给亚历山大·冯·洪堡写信，求洪堡帮忙向普鲁士国王弗里德里希·威廉四世申请资助。洪堡和雅可比早有通信往来，四十四封存世的信件记录了两个聪明头脑之间的惺惺相惜。国王批了钱。雅可比和博尔夏特、狄利克雷一道南下，施莱夫利（Ludwig Schlafli）当翻译，施泰纳（Jakob Steiner）也同行。一八四三年十一月，他们到了罗马。

意大利的气候确实救了他。雅可比重新开始写东西，甚至在梵蒂冈图书馆里翻起了丢番图的《算术》手稿，满足自己对数学史的兴趣。但柯尼斯堡的冬天太硬了，他的身体扛不住。国王特许他转到柏林，还补了薪水差额，贴补医药开销。


雅可比

一八四四年六月，雅可比回到了柏林。身体虽没全好，课还是得上。他讲得不多，但一开口分量就沉。一八四七到四八年那个冬季学期，他在柏林大学开了一门分析力学。这门课后来被研究科学史的人反复琢磨。

普尔特（Helmut Pulte）翻过雅可比的讲稿，发现了一个有意思的变化：年轻时候的雅可比对待力学，基本上把它当一套公理系统来玩，物理意义他不怎么操心。可到了柏林时期，他的口气变了。他开始系统地、尖锐地批评拉格朗日那套把力学当作纯粹公理—演绎科学的做法，从数学上和哲学上两条线同时开火。普尔特的结论是，雅可比对分析力学的看法在晚年经历了一次深刻的转向——数学不再是自娱自乐的符号游戏，它得跟经验世界对上话。

这种转变或许不是偶然的。一八四八年的欧洲不太平。德意志邦联里到处是失业和歉收，怨气堆积得像干柴。二月巴黎起义推翻了路易·菲利普，火星溅到柏林，革命就烧起来了。君主制摇摇晃晃，共和派和社会主义者的声音此起彼伏。雅可比这个人，骨子里大概藏着一股不安分的劲儿，他跑到柏林的宪法俱乐部做了一场政治演讲。具体说了什么，史料没给我太多细节，但结果是明确的：君主派觉得他冒犯了王室，共和派觉得他不够激进。两边不讨好。

普鲁士政府记了仇。雅可比申请正式加入柏林大学教职员编制，政府直接驳回。

一八四九年夏天，革命彻底被压下去了。政府余怒未消，把当初补贴他在柏林生活的那笔额外薪水给砍了。雅可比没法在柏林待下去了。他带着一家人搬到小城哥达，暂时安顿下来。几个月后，维也纳大学递来一张椅子，邀请他去当教授。雅可比接了。

消息传到柏林，普鲁士政府这才猛地回过味来——他们要是不做点什么，这个在椭圆函数、微分方程、行列式理论里都刻下了自己名字的人，就要变成奥地利的人了。他们让步了。条件是：雅可比可以在柏林大学讲课，但家人得留在哥达。这算什么好买卖？两头跑，家不成家。可雅可比居然接受了。你只能这么理解：他对普鲁士这片土地，终究是舍不得的。

他计划着假期回哥达和家人团聚。一八五〇年夏天，他在哥达和妻儿待了一阵。一八五一年一月，他染上了流感。身子还没养回来，天花又来了。几天之后，雅可比走了。四十六岁。


雅可比

斯克里巴（Christoph J. Scriba）在《科学传记辞典》里把雅可比和欧拉放在一起比，我觉得比得极准。他说这两个人在创造数学的方式上是同类——都是多产的写作者，更是多产的计算者；都在海量的算法劳作中汲取了旁人难以企及的洞察；都在数学的诸多领域里挥汗如雨（欧拉当然铺得更开，这点雅可比比不上）；最关键的是，他们俩随时能从自己那庞大的方法武库里抽出最称手的兵器，对准一个问题劈下去，稳、准、狠。

我读到这段话的时候，脑子里浮现的画面是一个满身工具的木匠。雅可比大概就是这样的人。他不跟你讲太多玄虚的道理，他直接掏出工具，当着你的面把活干了。椭圆函数？用 θ 函数重构。行列式？写一篇长文，把性质证透。偏微分方程？顺手就用到动力学里。他甚至有余裕在一篇回应批评的论文附注里，随手甩出一个关于空间闭曲线的漂亮定理。

但他不是机器。他会生病，会没钱，会因为在错误的时间说了错误的话而丢了补贴、被迫搬家。他也会在维也纳的邀请和柏林的挽留之间反复掂量，最终选择留在一个让他吃过苦头的国家。说到底，数学是他的语言，可普鲁士是他的家。

雅可比留下的那些东西——雅可比矩阵、雅可比行列式、哈密顿-雅可比方程——至今还在理工科学生的演草纸上沙沙作响。它们沉默地证明着一件事：一个曾经被柏林科学院退稿的年轻人，一个在柯尼斯堡研讨班上目光灼灼的教授，一个在哥达小城里被流感加天花击倒的中年人，他写下的等式，比他活过的年头结实得多。



南方 Er