两道 “不敢下手” 的代数神题：一题考胆量，一题考细心

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两道 “不敢下手” 的代数神题：一题考胆量，一题考细心

原创  吴登峰  吴说有解  2026 年 4 月 28 日 15:51  江苏

最近看到两道代数题，乍一看让人无从下手，但仔细分析后，发现一题考验“胆大”——敢于设未知数、敢于代入，一题考验“心细”——能洞察条件中的结构关系。今天就来一起拆解这两道题，体会代数变换的魅力。

第一题：大胆代入，巧施变换



第二题：仔细读题，巧用条件



小结

这两道题风格不同，但都体现了代数题的典型思维：

第一题：变量多并不可怕，大胆设未知数，通过代入化简，往往能发现对称抵消的规律，最终结果可能出奇简洁。

第二题：观察所求表达式与条件等式的结构差异，寻找“整体替换”的机会，将复杂表达式转化为已知条件的形式。

代数学习，既需要“胆大”去设未知数、尝试变形，也需要“心细”去捕捉题目中的隐藏条件与对称性。 这类题目看似吓人，实则是锻炼代数直觉与运算能力的绝佳材料。

下次遇到类似的“字母海洋”题，不妨深呼吸，按部就班地设元、列式、化简——答案很可能就在前方不远处。

吴说有解

王守恩

各位！请留步！！评一评！！谁的胆子大？

第1题：\(\frac{m}{m+1}+\frac{n}{n+1}+\frac{k}{k+1}=\frac{2}{2+1}+\frac{2}{2+1}+\frac{2}{2+1}=\frac{6}{3}=2\)

第2题：\(a+b+c=9—(0)\)

\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}=\frac{10}{9}—(1)\)

\((1)×9:\frac{9}{b+c}+\frac{9}{c+a}+\frac{9}{a+b}=10—(2)\)

\((2)变(3):\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}=10—(3)\)

\((3)得(4):\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1=10—(4)\)

\((4)得(5):\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=10-3=7—(5)\)

一般地：\(a+b+c=m\)

\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}=\frac{n}{m}\)

\(有:\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=n-3\)

更一般地：\(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{k}=m\)

\(\frac{1}{a_{2}+a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{k}}+\frac{1}{a_{1}+a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{k}}+\frac{1}{a_{1}+a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{k}}+\cdots+\frac{1}{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{k-1}}=\frac{n}{m}\)

\(有:\frac{a_{1}}{a_{2}+a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{k}}+\frac{a_{2}}{a_{1}+a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{k}}+\frac{a_{3}}{a_{1}+a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{k}}+\cdots+\frac{a_{k}}{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{k-1}}=n-k\)

王守恩

各位！请留步！！练一练！！！

\(第2题—(1):如果a,b,c是正数。且满足 a+b+c=9—(0)。\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}=\frac{10}{9}—(1)。求 \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

\((1)×9:\frac{9}{b+c}+\frac{9}{c+a}+\frac{9}{a+b}=10—(2)\)

\((2)变(3):\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}=10—(3)\)

\((3)得(4):\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1=10—(4)\)

\((4)得(5):\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=10-3=7—(5)\)

\(第2题—(2):如果a,b,c是正数。且满足 a+b+c=9—(0)。\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=7—(1)。求 \frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\)

\((1)变(2):\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1=7+3—(2)\)

\((2)变(3):\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}=10—(3)\)

\((3)得(4): (a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})=10—(4)\)

\((4)得(5):\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}=\frac{10}{9}—(5)\)

\(第2题—(3):如果a,b,c是正数。且满足 \frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}=\frac{10}{9}—(0)。\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=7—(1)。求a+b+c\)

\((1)变(2):\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1=7+3—(2)\)

\((2)变(3):\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}=10—(3)\)

\((3)得(4): (a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})=10—(4)\)

\((4)得(5):a+b+c=9—(5)\)