费马大定理的初等证明

朱明君

费马大定理的初等证明

定理内容

当整数 n ≥ 3 时，不定方程
a^n + b^n = c^n
不存在正整数解；n = 2 存在正整数解（勾股数）。

1. 有效三元组

正整数三元组 (a, b, c) 满足
a ≤ b < c,&#8195;a + b > c
称为有效三元组。
若 a + b ≤ c，显然 a^n + b^n < c^n，直接无解，只需讨论有效三元组。

1. 生成路径覆盖

所有有效三元组，可通过单变量单调回溯到模三元组：

· 非等腰 → 等腰：固定 b, c，a 递增至 b
  例：(3, 4, 5)，固定 b = 4, c = 5，a = 3 递增为 4，得到等腰 (4, 4, 5)
· 等腰 → 模三元组：固定 a = b，c 递减至 a + 1

标准模三元组：
(K + 1, K + 1, K + 2),&#8195;K ≥ 1
全体有效三元组均可被此路径覆盖。

1. 临界指数判定

对模三元组，令
f(x) = 2(K + 1)^x - (K + 2)^x
严格单调递减，唯一零点为临界指数
n_crit = ln 2 / ln((K + 2) / (K + 1))
n_crit 为无理数。

· 当 n = 2：整数指数小于部分模三元组的临界指数，可出现 a^2 + b^2 = c^2（如 3^2 + 4^2 = 5^2）
· 当 n ≥ 3：所有整数指数均不等于无理数临界指数，故 f(n) ≠ 0

1. 无解传递（n = 2 有解，n ≥ 3 严格无解）

4.1 伯努利不等式判定符号

取 x = 1 / (K + 1)，对整数 n ≥ 3：
(1 + 1/(K + 1))^n > 1 + n/(K + 1) ≥ 5/2 > 2
得
(K + 2)^n > 2(K + 1)^n  &#8658;  f(n) = 2(K + 1)^n - (K + 2)^n < 0

4.2 垂直路径

固定 a = b，c 增大，c^n 增大，f(n) 更负，等腰三元组恒满足
2a^n < c^n

4.3 水平路径

固定 b, c，a 减小，a^n + b^n 严格减小。
实例验证：

· n = 2：3^2 + 4^2 = 5^2，存在解；
· n = 3：3^3 + 4^3 = 91 < 125 = 5^3，立刻无解。

即：
n = 2 时可恰好取等；
n ≥ 3 时，只要等腰处 2b^n < c^n，减小 a 只会让 a^n + b^n 更小，永远小于 c^n，不可能相等。

1. 结论
2. n = 2 时存在有效三元组满足 a^2 + b^2 = c^2；
3. n ≥ 3 时，所有有效三元组经单调传递均满足 a^n + b^n < c^n；
4. a + b ≤ c 时天然 a^n + b^n < c^n。

因此，对任意整数 n ≥ 3，a^n + b^n = c^n 无正整数解。
费马大定理成立。