质疑戴德金分划的合理性

yangls728

质疑戴德金分划的合理性
杨六省
yangls728@163.com
“划分是明确概念的外延，而定义是明确概念的内涵。”“通过揭示概念的外延来说明一个概念，有些逻辑学家把它叫做外延定义。”（金岳霖主编《形式逻辑》,人民出版社，1979年第1版第64页）
“划分就是把一个类分为若干小类。……比如把实数划分为有理数和无理数。”（诸葛殷同等著《形式逻辑原理》，社会科学文献出版社，2007年第2版第56页）
下面来看戴德金是如何应用分划引入无理数概念的。
戴德金的有理数域内的分划概念是指，若将有理数全体所组成的集合分拆为两个非空集合A和A’，我们把这样的分拆叫做分划，只要满足条件：
①任一有理数，必在且仅在A及A’二集之一中出现；
②集A内的任一数a，必小于集A’内的任一数a’.
集A称为分划的下组，集A’为上组。分划记成A丨A’。
一般数学文献（例如，（前苏联）菲赫金哥尔茨《微积分学教程》（第一卷）（第8版）中译本第7页）介绍到，分划仅能有如下三种类型：
1）在下组A内无最大值，而在上组A’内有最小值r；
2）在下组A内有最大值r，而在上组A’内无最小值；
3）在下组内既无最大值，在上组内亦无最小值。
对前两种情形，我们说，分划由有理数r所产生（r成为A与A’之间的界数），或说分划定义有理数r。在第三种情形中界数并不存在，分划并不定义任何有理数。今引入新的对象——无理数。让我们约定，任一3）型的分划定义某一无理数α。这个数α便代替缺少的界数，我们好像把它插入在A组的一切数a与A’组的一切数a’中间。
笔者评析：“分划”概念本来是针对“一个”分划而言的。戴德金提出他的分划理论列出了三种不同的分划类型。列出前两种分划类型的目的是为了引导出第3）种分划类型，以说明其出现是合理的。但是，这个想法是否成立，要看该分划本身，而不是提出人的主观意愿。
（1）戴德金分划暗含循环定义
如引文所述，戴德金的分划一开始确实只是针对有理数集合而言的，因此，它适用于1）和2）两种分划类型。但是，我们只要稍微细心观察一下就会发现，3）型分划的表述中并没有出现A及A’两种符号，这说明3）型分划的被分划对象不是有理数集合。如果戴德金不以实数作为参照物，不预设实数的存在，不预设实数具有连续性，就不可能得出有理数在数轴上还会有“空隙”存在的结论。“空隙”也应有其所属的分划。很显然，这个分划不是关于有理数的，而是关于实数的。因此，戴德金根据“空隙”引入无理数概念，不只涉及关于有理数的分划，也涉及关于实数的分划，换言之，戴德金不是（只）用有理数定义无理数，而是用实数（指通过有理数与实数的比对）定义无理数。但是，这样一来，定义无理数（被定义项）要用到实数概念（定义项），而实数概念又包含无理数，因此，戴德金试图应用分划引入无理数概念就会陷入循环定义（定义项实数又包括被定义项无理数），这样的定义是错误的、无效的、应该抛弃的。
（2）戴德金分划找不到合理的被分划对象
金岳霖《形式逻辑》第64页写道：“我们要把某类加以划分，我们就必须知道这类是具有哪些特有属性的事物，也就是说，我们必须知道这类事物的定义。”欧文·M·柯匹和卡尔·科恩在《逻辑学导论（第11版）》一书中译本第149页写道：“即使在那些适于使用否定定义的地方，其中的属也必须首先肯定的提出，然后可以通过排除属中的所有其他的种而给出那个种的否定特征。”我们面临的问题是，在戴德金的3）型分划中，如果把无理数看作种概念，那么，其对应的属概念（被分划对象）是什么呢？可能的回答是：①无被分划对象。这个答案显然不符合分划概念的意义。②被分划对象实数。那么，本来简单的一句话就可以说清楚的问题——“无理数就是实数中排除掉有理数的部分”，何须还要舍简求繁提出戴德金分划，并且还会陷入循环定义的错误呢？③被分划对象有理数。这个答案显然很荒谬，因为无理数与有理数不是种属关系，而是种与种的关系。简言之，人的认识规律是先有被分划的对象，后有分划。但是，戴德金的做法是先利用分划定义无理数，然后得出被分划的对象是实数。明确反映这种不合理次序的文献是菲赫金哥尔茨《微积分学教程》（第一卷）（第8版）中译本第7-8页：先利用戴德金分划定义无理数，然后说“有理数及无理数总称为实数。”
（3）戴德金分划应用否定定义并不合理
在（1）的讨论中，“空隙”就是对有理数的否定。因此，戴德金把“空隙”定义为无理数，就是一种否定定义，问题是这种定义方法并没有能够帮助戴德金获得成功。再说，在人们已经知道无理数具有存在性的情况下，这种否定定义就没有什么利用价值了，因为数学更需知道概念的内涵定义：无理数是什么，而不是它不是什么（有理数）。基于上述理由，我们说，戴德金分划应用否定定义是不合理的。
总结：戴德金利用分划引入无理数概念，不仅会陷入循环定义，也违反人的认识规律。
文末感言：欧文·M·柯匹和卡尔·科恩在《逻辑学导论（第11版）》一书中译本第147页说的很是中肯和到位，书中写道：“定义循环有时甚至会使老练的科学家陷入圈套。”
笔者很是赞同罗素的如下观点：“罗素曾刻薄地批评戴德金的公理化进路，后者预设了实数的戴德金完备的。”（[美]乔伊·大卫·哈姆金斯《数学哲学讲义》中译本，上海人民出版社2025-07，第58页）

elim

为什么数学要建立在集合论的基础上，为什么对数学而言形式逻辑要更有针对性地被数理逻辑取代？这是因为一切数学概念的内涵都是对某数学概念的外延的某种限制给出，而外延公理的本质是说外延才是一个数学概念更本质的刻化.


内角非各异的三角形与等腰三角形看似是两个不同的概念内涵，却有相同的外延，所以它们实际上是同一个数学概念。