\(\LARGE\color{red}{由张筑生《数学分析新讲》也可得\lim n\in\mathbb{N}}\).

春风晚霞

        根据Weierstrass极限理论，\(\infty\triangleq\{n|n>N，N\in\mathbb{N}\}\)；\((n\to\infty)\)\(\triangleq\)\(n\in\{n|n>N,\)\(N\in\mathbb{N}\}\)，所以\(\mathbb{N}=\{n|n≤N，N\in\mathbb{N}\}\cup\{n|n>N，\)\(N\in\mathbb{N}\}\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！注意张筑生给出的是\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=\infty\)，并没有给出\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\)！
        事实上，根据张筑生关于无穷大的数列的定义：『设\(\{x_n\}\)是实数序列，如果对任意正实数E，存在自然数N，当n>N时，就有\(x_n>E\).那么我们就说序列\(\{x_n\}\)发散于\(+\infty\)，记为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=\)\(\infty\)』(参见张筑生《数学分析新讲》P77页12—16行).
        由于自然数列\(\{n\}\)是无穷大数列，所以对任意的自然数\(N_E\)，存在自然数N(事实上这个\(N=N_E)\)当\(n>N\)时\(|x_n|>N_E\)恒成立。再根据皮亚诺公理第二条，对\(N=N_E\)这个确定(逻辑确定的)自然数，其后继N+1、N+2、N+3、…都是确定的自然数。所以我们根张筑生无穷大数列的定义仍然可得\(\infty=\{n|n>N\quad N\in\mathbb{N}\}\)！elim如果尊重Piano、Weierstrass、Dedekind、cantor及张筑生的数学框架的话，就应当认同\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！

春风晚霞

学数学应紧抠定义、定理，警惕elim骗人把戏！

春风晚霞

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