三元对称不等式，解法应该很多吧

luyuanhong

三元对称不等式，解法应该很多吧

原创  数学好风景  2026 年 8 月 4 日 09:00  重庆




数学好风景

王守恩

\(已知正实数\ x,y,z\ 满足\ x+y+z=3,\ 求\  S=\sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{y^2-yz+z^2}+\sqrt{z^2-zx+x^2}\  的最小值。\)

\(瞪眼\ x=y=z。可以有\ S=3\)

\(已知正实数\ x,y,z\ 满足\ x+y+z=n,\ 求\  S=\sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{y^2-yz+z^2}+\sqrt{z^2-zx+x^2}\  的最小值。\)

\(瞪眼\ x=y=z。后面省略了。\)

\(已知正实数\ x,y,z\ 满足\ x+y+z=n,\ 求\  S=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}\  的最小值。\)

\(瞪眼\ x=y=z。后面省略了。\)

\(已知正实数\ x,y,z\ 满足\ x+y+z=n,\ 求\  S=\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\  的最小值。\)

\(瞪眼\ x=y=z。后面省略了。\)

\(已知正实数\ x,y,z\ 满足\ x+y+z=n,\ 求\  S=\sqrt{x^2+2xy+y^2}+\sqrt{y^2+2yz+z^2}+\sqrt{z^2+2zx+x^2}\  的最小值。\)

\(瞪眼\ x=y=z。后面省略了。\)

波斯猫猫

思路：√(x^2-xy+y^2)≥√[x^2+y^2-(x^2+y^2)/2]

=√[(x^2+y^2)/2]=√[(x^2+y^2+x^2+y^2)/4]

≥√[(x^2+y^2+2xy)/4]=(x+y)/2，后二者同理可证.

∴ S=√(x^2-xy+y^2)+√(y^2-yz+z^2)+√(z^2-zx+x^2)

≥(x+y)/2+(y+z)/2+(z+x)/2=x+y+z=3.

(当且仅当x=y=z=1时取等号)