\(\LARGE\color{red}{关于陶哲轩有限与无穷辩证认识的一个证明}\)

春风晚霞

        陶哲轩在《陶哲轩实分析》(第三版)P18页第30—31行提出了这样一个命题：尽管每一个自然数都是有穷的，但是由自然数所构成的集合却是无穷大的。
        根据陶哲轩的这个命题，陶哲轩是认可根据Weierstrass极限定义对\(\infty\)和\(n\to\infty\)的解读的。亦即陶哲轩是认可以下面的两个定义和一个性质的。
        1、定义1： \(\infty\triangleq\)\(\{n|n>E，\exists E\in\mathbb{N}\}\)
        2、 定义2：\((n\to\infty)\triangleq n\in\{n|n>E，\exists E\in\mathbb{N}\}\)。
        3、性质：\(\mathbb{N}=\{n|n≤E，\exists E\in\mathbb{N}\}\)\(\cup\{n|n>E，\exists E\in\mathbb{N}\}\)。
        由皮亚诺公理第二条，对于\(\infty\triangleq\{n|n>E，\exists E\in\mathbb{N}\}\)中的这个逻辑确定的自然数\(E\)，必然存在其后继\(E+1\)和大于\(E+1\)的自然数\(E+i\)，所以由自然数所构成的集合却\(\color{red}{是无穷大的}\)！
        又因为：
        \(\forall n\in\mathbb{N}\)\(\implies\begin{cases}
n=0\\n≠0\implies\begin{cases}
n-1\in\mathbb{N}(皮亚诺公理笫三条)\\n+1\in\mathbb{N}(皮亚诺公理第二条)
\end{cases}
\implies n-1<n<n+1
\end{cases}\)
        所以，\(\forall n\in\mathbb{N}\)\(\color{red}{都是有限自然数}！\)

春风晚霞

elim，因为自然数集\(\mathbb{N}\)是由康托尔有限集\(\phi\)生成的。由于\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)亦是由康托尔有限集\(\phi\)生成的！(参见请清华大学张峰著《集合论基础教程》P83页冯\(\cdot\)诺依曼自然数生成法则、余元希著《初筹代数研究》P4页定义1：“有限集的基数叫自然数”之展开陈述。如若还是不懂，请返回你的母校，向你的授业师娘请教！

春风晚霞

        康托尔说：“数\(\nu(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)\)既表示把一个个单位放上去的确切计数，又表示它们所汇集成的整体”(参见康托尔《超穷数理论基础》P42页第19—20行)。所以，自然数\(\nu(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)\)既有所有自然数所具有的共性\(\nu-1<\nu<\nu+1\)，又具有“它们所汇集成的整体”的集合属性：即\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\to\infty\)！

春风晚霞

elim根本读不懂陶哲轩的《陶哲轩实分析》