清宫定理，Semiya Theorem， 第一次听说！

dodonaomikiki

清宫定理是日本数学家清宫俊雄
提出的几何学定理，
描述三角形外接圆上两点的对称点连线
与三角形边的交点共线现象
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P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，
P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，
且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB
或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上

dodonaomikiki

推荐一种办法！供大咖们评鉴！

\(

Proof:     \\
链接CE,CP,CQ,AE,AP,  AQ       \\
\Longrightarrow                  \displaystyle{  \boldsymbol      {             \frac{CM}{MA}  =         \frac{S  \blacktriangle     QCE}{   S   \blacktriangle   QAE             }        =     \frac{CQ.CE.sin\angle QCE}{AQ.AE.sin\angle QAE}        }}     \\


            \displaystyle{  \boldsymbol      {      =\frac{CQ.CP.sin(\angle   ACP-\angle  ACQ)}{AQ.AP.sin(\angle CAP-\angle  CAQ)}     \qquad     \mathscr{A}                  }}  \\

同理           \\
            \displaystyle{  \boldsymbol      {        \frac{ AN}{      NB}    = =\frac{AQ.AP.sin(\angle   BAQ-\angle  BAP)}{BQ.BP.sin(\angle ABP-\angle ABQ)}        \qquad     \mathscr{B}      }}   \\

           \displaystyle{  \boldsymbol      {       \frac{BL}{LC    }  = =\frac{BQ.BP.sin(\angle   CBQ+\angle  CBP)}{CQ.CP.sin(\angle BCQ+    \angle  BCP)}           \qquad     \mathscr{C}    }}   \\





容易晓得：          \\

          \displaystyle{  \boldsymbol      {      \angle ACP-   \angle  ACQ=   \angle  ABP-  \angle  ABQ        }}   \\

          \displaystyle{  \boldsymbol      {      \angle CAP-      \angle CAQ=180度-(  \angle  BCQ-         \angle    BCP)       }}    \\

          \displaystyle{  \boldsymbol      {      \angle   BAQ-  \angle BAP=180度-(   \angle  BCQ+ \angle     BCP)         }} \\
最后我们得到：          \displaystyle{  \boldsymbol      {       \mathscr{A}      \times            \mathscr{B}             \times             \mathscr{C}     }}     \\
          \displaystyle{  \boldsymbol      {      = \frac{CM}{MA}    \bullet                            \frac{ AN}{      NB}       \bullet                             \frac{BL}{LC    }  = 1    }}     \\

            

   
  
根据没涅劳斯定理
得到 L,M,N三点共线           \)

dodonaomikiki

上面的证明供参鉴
有错，敬请指出批评

dodonaomikiki

再来看一种证明办法~~~是不是有别于上面的证明法子

dodonaomikiki

这是日本数学家清宫俊雄在16岁的时候提出的几何学定理！



一个人的数学天赋往往在早年就有体现，
比如阿贝尔？伽罗瓦在年轻的时候提出啦GROUP理论！