证明：若 x , y ∈R+ , 则 x^y+y^x＞1

波斯猫猫

题：若x , y ∈R+, 则x^y+y^x＞1.

思路：当x≥1 ,或 y ≥1时，显然x^y+y^x＞1成立.

当0＜x＜1 ,且0＜ y＜1时，由伯努利不等式

有，x^y=x/[x^(1-y)]≥x/[1+(1-y)(x-1)]=x/(x+y-xy)，

即x^y≥x/(x+y-xy).  同理有，y^x≥y/(x+y-xy).

∴ x^y+y^x≥(x+y)/(x+y-xy)＞1.

风花飘飘

完全正确！

风花飘飘

猫猫很波斯！




http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的帖子很好！已收藏。

liangchuxu

受楼主启发，有相似之处，指教