求 y=(sinx)^3+(cosx)^3 的最大值和最小值

波斯猫猫

求y=(sinx)^3+(cosx)^3的最值(原创).

luyuanhong

题  求 y=(sinx)^3+(cosx)^3 的最大值和最小值。

解  我过去在《数学中国》发表过一个帖子，证明了以下结论：

      当实数 p≥2，q≥2 时，必有 ｜(cosx)^p+(sinx)^q｜≤1 。

     特别，当 p=q=3 时，就有 ｜(cosx)^3+(sinx)^3｜≤1 ，即

                                   -1 ≤ (cosx)^3+(sinx)^3 ≤ 1 。

     当 x=0 时，有

          (cosx)^3+(sinx)^3 = (cos0)^3+(sin0)^3 = 1^3+0^3=1 。

     当 x=π 时，有

          (cosx)^3+(sinx)^3 = (cosπ)^3+(sinπ)^3 = (-1)^3+0^3=-1 。

     可见， y=(sinx)^3+(cosx)^3 的最大值就是 1 ，最小值就是 -1 。

luyuanhong

题  当实数 p≥2，q≥2 时，证明 ｜(cosα)^p+(sinα)^q｜≤1 。

证  总可以找到 0≤θ≤π/2 。

    当 α 是第一象限角度时，有 α = 2kπ+θ ，使得 cosα = cosθ ，sinα = sinθ 。

    当 α 是第二象限角度时，有 α = 2kπ+π-θ ，使得 cosα = -cosθ ，sinα = sinθ 。

    当 α 是第三象限角度时，有 α = 2kπ-π+θ ，使得 cosα = -cosθ ，sinα = -sinθ 。

    当 α 是第四象限角度时，有 α = 2kπ-θ ，使得 cosα = cosθ ，sinα = -sinθ 。

    总之，必有

                    ｜cosα｜=cosθ ，｜sinα｜=sinθ 。

    因为  0≤θ≤π/2 ，0≤cosθ≤1 ，0≤sinθ≤1 ，当实数 p≥2，q≥2 时，必有

            (cosθ)^p≤(cosθ)^2 ， (sinθ)^q≤(sinθ)^2 。

    所以

    ｜(cosα)^p+(sinα)^q｜≤｜(cosα)^p｜+｜(sinα)^q｜=｜cosα｜^p +｜sinα｜^q

     = (cosθ)^p + (sinθ)^q ≤ (cosθ)^2 + (sinθ)^2 = 1 。

波斯猫猫

｜y｜=｜(sinx)^3+(cosx)^3｜≤｜(sinx)^3｜+｜(cosx)^3｜
≤｜(sinx)^2｜+｜(cosx)^2｜=1，即-1≤y≤1.
当x=2kπ+π/2，或x=2kπ时，ymax=1，
当x=2kπ-π/2，或x=(2k+1)π时，ymin=-1(k∈Z).

注： ∵ y=(sinx)^4+(cosx)^4=1-(sin2x)^2/2，
       ∴ 1/2≤y≤1.