@@@朱火华新二维平面图体系

朱明君

朱火华新二维平面图体系
修订版：保留A类B类边界，明确四条构造路径）

作者：朱火华

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一、体系总定义

本体系重新定义广义二维平面图，将传统平面图理论中被排除的退化结构、重边、自环以及必要的规范交叉结构纳入统一框架。

体系分为两大类：

A类：简单广义平面图

无几何边交叉，允许至多一对重边、至多一个自环，允许孤立点、无边、单边、树、退化环等。

B类：规范交叉图子类

仅包含完全图 K_n 与完全二分图 K_{p,q}，允许边交叉，交叉点不计入节点。其他非完全、非完全二分图的含交叉构型不纳入本体系。

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二、核心结论

A类：简单广义平面图

边数连续区间：

e ∈ [n-1, 3n-4]

其中 n 为总节点数，m 为外围边界节点数，0 ≤ m ≤ n。

· 当 m ≥ 3 时，属于传统平面图公式可覆盖范围；
· 当 m = 2 时，对应一对重边退化外环，边数 3n-5；
· 当 m = 1 时，对应一个自环退化外环，边数 3n-4。

A类标准规范图总数量：

P = (3n-4) - (n-1) + 1 = 2n-2

B类：规范交叉图子类

完全图 K_n 边数（注：传统公式）：

e(K_n) = n(n-1)/2

完全二分图 K_{p,q} 边数（注：传统公式）：

e(K_{p,q}) = p × q

B类不设统一边数上限，不参与A类的边数区间和面数公式。

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三、基本定义

· n：总节点数
· m：外围边界节点数，0 ≤ m ≤ n
· a：有限面数，不含外部无限面
· e：有效边数，重边、自环均计入
· w：围内节点度数和
· N：所有内部孔洞围边节点数之和
· v：孔洞个数，单孔围边节点数 ≥ 4

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四、A类基底与四条构造路径

4.1 基底状态

全部 n 个节点都在外环上，内部完成三角剖分，此时 m = n。

基底面数：

a = n - 2

基底边数：

e = 2n - 3

该基底是四条构造路径的公共枢纽和唯一中心原点。

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4.2 路径一：基底正向添边——外弦内化

从基底 e = 2n-3 开始，在外环上选取两个非相邻节点添加外弦，使外环节点内化，逐步推进至边数上限 e = 3n-4。

操作规则：

在外环上选取两个非相邻节点，添加一条外弦，使外环上的一个节点变成内部节点。

结构变化：

· 总节点数 n 不变；
· 外围节点数 m 减 1；
· 内部节点数加 1；
· 面数 a 加 1；
· 边数 e 加 1。

本质：

外弦内化是添边操作。通过在外环添加外弦，将外部节点内化。

经过 n-m 次操作后，达到重边外环（m=2）和自环外环（m=1）。

路径一通式：

a = 2n - m - 2

e = 3n - m - 3

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4.3 路径二：基底逆向减边——内弦外化

从基底 e = 2n-3 开始，逐步减边，将内部节点外化回归外环，边数持续减少，直达下界 e = n-1。

操作规则：

在外围减去一条边，使内部一个节点变成外部节点。

结构变化：

· 总节点数 n 不变；
· 外围节点数 m 加 1；
· 内部节点数减 1；
· 面数 a 减 1；
· 边数 e 减 1。

本质：

内弦外化是减边操作。内部一个节点因为外围减边而重新回到外环上。

最终变为连通树。

路径二通式：

a = 2n - m - 2

e = 3n - m - 3

路径二与路径一互为逆操作，公式形式相同，方向相反。

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核心操作对照

外弦内化：

· 性质：添边
· 操作方式：外环两个不相邻节点添加外弦
· 节点变化：外部节点变为内部节点
· 总节点数 n：不变
· 外围节点数 m：减 1
· 边数 e：加 1
· 面数 a：加 1
· 路径方向：从基底走向上限

内弦外化：

· 性质：减边
· 操作方式：外围减去一条边
· 节点变化：内部节点变为外部节点
· 总节点数 n：不变
· 外围节点数 m：加 1
· 边数 e：减 1
· 面数 a：减 1
· 路径方向：从基底走向下界

两者严格互逆，共享基底 e=2n-3 作为公共中心原点。

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4.4 路径三：全域正向完整构造

从边数下界 e = n-1 的连通树出发，逐次添边，途经基底 e = 2n-3，最终抵达边数上限 e = 3n-4 的自环外环，完整覆盖整个边数连续区间。

正向序列：

e = n-1 → n → n+1 → … → 2n-3 → … → 3n-5 → 3n-4

其中：

· 从 n-1 到 2n-3 是逐步添边外化节点，完成三角剖分基底；
· 从 2n-3 到 3n-4 继续外弦内化，形成重边外环与自环外环。

每一步边数增加 1，对应唯一规范图，无分叉、无跳跃、无空缺。

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4.5 路径四：全域逆向完整构造

从边数上限 e = 3n-4 的自环外环出发，逐次减边，途经基底 e = 2n-3，最终回到边数下界 e = n-1 的连通树。

逆向序列：

e = 3n-4 → 3n-5 → … → 2n-3 → … → n+1 → n → n-1

其中：

· 从 3n-4 到 2n-3 逐步内弦外化，恢复三角剖分基底；
· 从 2n-3 到 n-1 继续减边外化节点，直至变为树。

路径四与路径三完全对称，共享同一基底中心。

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五、A类多孔洞修正

设 N 为所有孔洞围边节点总数，v 为孔洞个数：

a = 2n - m - 2 - (N - 2v)

e = 3n - m - 3 - (N - 3v)

该公式仅适用于A类简单广义平面图。

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六、A类度数反推公式

由围内节点度数和 w 反推面数与边数：

a = (w + 2m + n - m) / 3

e = (w + 3m + n - m) / 2

围内节点度数和互推公式：

w = 3a - (n - m) - 2m

w = 2e - (n - m) - 3m

总图总度数恒等式：

W = 2e

注：度数和反推公式，适用于由外向内两层及以上环加中心区域结构的标准二维平面图。

以上公式适用于A类。

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七、B类规范交叉图子类

包含图种

1. 完全图 K_n，n ≥ 5 时平面嵌入必出现交叉；
2. 完全二分图 K_{p,q}，其中 K_{3,3} 为典型代表。

边数公式

完全图 K_n 边数（注：传统公式）：

e(K_n) = n(n-1)/2

完全二分图 K_{p,q} 边数（注：传统公式）：

e(K_{p,q}) = p × q

完全图边数公式构造演变步骤

完全图 K_n 的边数可以通过分阶段添边构造得到，其等价展开形式为：

e = n + 2(n-3) + (n-4)(n-3)/2

该式最终等价于传统完全图边数公式：

e(K_n) = n(n-1)/2

以 n=7 为例：

原始骨架边数为 7 条。

· 第一次从 A 节点开始添边，共 4 条；
· 第二次从 B 节点开始添边，共 4 条；
· 第三次从 C 节点开始添边，共 3 条；
· 第四次从 E 节点开始添边，共 2 条；
· 第五次从 D 节点开始添边，共 1 条。

总边数：

7 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21

与完全图 K_7 的边数公式一致：

e(K_7) = 7 × 6 / 2 = 21

此构造步骤可作为 B 类完全图边数公式的补充注解。

面数问题

B类图由于存在边交叉，交叉点不计入节点，面的定义与计数不能沿用A类公式。本体系暂不定义B类面数，仅定义边数与结构归属。

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八、着色规则

· A类简单广义平面图：适用经典四色定理。
· B类完全图 K_n：最小着色数为 n。
· B类完全二分图 K_{p,q}：最小着色数为 2。

n色定理

完全图 K_n 中，每个节点的度数为 n-1，因此每个节点都与其余 n-1 个节点相邻。

正常着色要求相邻节点颜色不同，所以每个节点都不能与其余任何节点同色。

因此完全图 K_n 的最小着色数为 n。

这就是 n色定理：

完全图 K_n 的着色数 = n

补充：

当 n ≤ 4 时，完全图 K_n 的着色数 ≤ 4，属于平面图可着色范围。

当 n ≥ 5 时，完全图 K_n 的着色数 n > 4，且完全图不再是平面图。

其中：

· n = 1 时，单节点完全图，着色数 1；
· n = 2 时，单边完全图，着色数 2；
· n = 3 时，三角形完全图，着色数 3；
· n = 4 时，K_4，着色数 4，属于平面图；
· n ≥ 5 时，K_n 为非平面图，着色数 n。

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九、实例验证

实例一：n=3

A类边数区间：[2,5]

路径三正向链：

e=2（树）→ e=3（三角形基底）→ e=4（重边外环）→ e=5（自环外环）

路径四逆向链：

e=5 → 4 → 3 → 2

实例二：n=4

A类边数区间：[3,8]

路径三正向链：

e=3（树）→ e=4（单环）→ e=5（三角剖分基底）

→ e=6（m=3普通外环）→ e=7（m=2重边外环）→ e=8（m=1自环外环）

路径四逆向链：

e=8 → 7 → 6 → 5 → 4 → 3

实例三：n=5

A类边数区间：[4,11]

路径三正向链：

e=4（树）→ e=5（单环）→ e=6（五边形加一条弦）

→ e=7（五边形三角剖分基底）→ e=8（m=4普通外环）

→ e=9（m=3普通外环）→ e=10（m=2重边外环）→ e=11（m=1自环外环）

路径四逆向链：

e=11 → 10 → 9 → 8 → 7 → 6 → 5 → 4

注意：

A类区间包含边数 10 和 11，但这两个边数对应的规范代表图是重边外环和自环外环，并非 K_5。K_5 单独属于B类，边数为 10，不占用A类区间位置。

· K_5：n=5，e=10，属于B类，最小着色数 5。
· K_{3,3}：n=6，e=9，属于B类，最小着色数 2。

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十、体系边界

本体系明确划分A、B两类：

· A类：简单广义平面图，无交叉，允许退化结构，沿用连续边数区间与面数公式。
· B类：规范交叉图子类，仅含完全图与完全二分图，不参与A类公式。

两类边界清晰，各自自洽，不再混用公式。

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十一、公式总汇

A类

基底面数：

a = n - 2

基底边数：

e = 2n - 3

外弦内化面数：

a = 2n - m - 2

外弦内化边数：

e = 3n - m - 3

度数反推面数：

a = (w + 2m + n - m) / 3

度数反推边数：

e = (w + 3m + n - m) / 2

围内度数和面式：

w = 3a - (n - m) - 2m

围内度数和边式：

w = 2e - (n - m) - 3m

总度数恒等式：

W = 2e

多孔洞面数：

a = 2n - m - 2 - (N - 2v)

多孔洞边数：

e = 3n - m - 3 - (N - 3v)

边数区间：

e ∈ [n-1, 3n-4]

规范图总数量：

P = 2n - 2

着色数：4色

B类

完全图边数（注：传统公式）：

e(K_n) = n(n-1)/2

完全图边数构造展开式：

e = n + 2(n-3) + (n-4)(n-3)/2

完全二分图边数（注：传统公式）：

e(K_{p,q}) = p × q

完全图着色数：n 色

完全二分图着色数：2色

n色定理

完全图 K_n 的着色数 = n

当 n ≤ 4 时，着色数 ≤ 4

当 n ≥ 5 时，着色数 n > 4

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以上为整合修正后的完整修订版。