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220 和 284 ：数学界最有名的一对朋友，第二对却迟到了两千年
原创 韩雪龙 寒冬的角落 2026 年 9 月 5 日 23:35 广东
上一篇讲完全数：真因子加起来正好等于自己，6 是，28 也是。那种数有点自恋，自己搂着自己转圈。
这次讲它的社交版。一个数的真因子加起来，不是它自己，而是另一个数；那个数的真因子加回来，又正好是它。
比如 220 。它的真因子是 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 11 , 20 , 22 , 44 , 55 , 110 ，加起来是 284 。再把 284 的真因子加一遍：1 , 2 , 4 , 71 , 142 ，加起来是 220 。
你是我全部零件之和，我是你全部零件之和。这样的组合，叫亲和数。两个数互为对方的真因子之和。写成公式就是：
m = s(n) = σ(n) - n ， n = s(m) = σ(m) - m 。
古人真拿它当爱情用
这是人类发现的第一对亲和数，最早能追溯到公元前 500 年前后的毕达哥拉斯学派。据说有弟子问毕达哥拉斯：朋友是什么？他答：朋友是你灵魂的倩影，要像 220 和 284 一样。
中世纪的人是真信这个。阿拉伯人把这两个数分别刻在两个水果上，自己吃一个，心上人吃一个；欧洲流行过刻着这对数的护身符，说能保住爱情。还有个无从考证的传说：某位国王的名字按字母换算成数正好是 284 ，于是他非要找一个名字值 220 的王后，认定这是上天安排的姻缘。
浪漫归浪漫，一个尴尬的事实是：从毕达哥拉斯往后，整整两千年，全世界没人找到第二对。
它到底有多稀有
亲和数难找，不是因为条件苛刻到天文数字。我写了个程序，把一百万以内的数整个筛了一遍：
亲和数的稀有度
十万以内只有 13 对。这个范围古人完全够得着—— 13 对里一大半都不到一万，一个足够勤奋、足够倒霉的账房先生理论上都能撞见。可就是没人撞见。
一把钥匙，两副面孔
突破口出现在 9 世纪的巴格达。数学家塔比·伊本·库拉给出一个公式：取
如果 n 取某个值时，x、y、z 恰好全是素数，那么
就是一对亲和数。n = 2 时，x = 5，y = 11，z = 71，代进去正好是 220 和 284 ——公式第一次运行，就把人类唯一已知的那对吐了出来：
而 n = 4 时，它给出 17296 和 18416 。这正是 1636 年费马向欧洲宣布的“新发现”——与其说他找到了新数，不如说他重新发明了塔比的公式。两年后笛卡尔如法炮制，给出第三对：9363584 和 9437056 。
但塔比的公式有个脾气：它吐出来的对全是偶数。大家开始怀疑，亲和数大概都长这样。
欧拉扫荡全盘，却漏了家门口
18 世纪，欧拉下场。他不满足于塔比的单参数公式，把生成条件改写成一组关于未知素数的方程，靠手工计算硬扫：1747 年列出 30 对，1750 年扩到 60 多对。人类已知亲和数从 3 对暴涨到 60 多对，其中绝大多数是欧拉一个人贡献的。他甚至顺手找到了第一对奇亲和数：12285 和 14595 。
但欧拉漏了一对。就漏在所有人都扫过的地盘里。
1866 年，意大利一个 16 岁的中学生帕格尼尼（和那位拉小提琴的大师同姓，不是同一个人）宣布：1184 和 1210 是一对亲和数。
验算一下。1184 = 2^5 × 37，因子和是：
真因子和 = 2394 − 1184 = 1210 。
反过来，1210 = 2 × 5 × 11^2 ，因子和是：
真因子和 = 2394 − 1210 = 1184 。严丝合缝。
这是全部亲和数里第二小的一对，比欧拉找到的绝大多数都小，小到随便一个验算的人都能碰到。欧拉的方法像撒网，只捞形状特定的鱼；少年干的事笨得多—— 一个一个验。笨办法赢过天才的方法，这一回赢得干干净净。
亲和数发现史
两个人跳舞，五个人转圈
真因子和这个游戏，一个人指向自己是完全数，两个人互指是亲和数。那三个人、五个人行不行？
行。12496 的真因子和是 14288 ，14288 的是 15472，接下去是 14536 、14264 ——而 14264 的真因子和算回来，正好是 12496 。
亲和数链
这种环叫亲和数链：五个数手拉手转一圈，谁也不落单。这个 5 环是 1918 年发现的；1965 年人们又找到一个 28 环的长链，从 14316 出发，转 28 步回到原地。
12 亿对之后，三个问题原封不动
到今天，人类手里的亲和数对已经超过 12 亿（2023 年的统计是 1,227,869,886 对），10^20 以下的所有亲和数对被计算机翻了个底朝天。可下面三个问题，一个都没解决：
一、亲和数有没有无穷多对？没人知道。12 亿对的体量强烈暗示“有”，但没有人能证明。
二、有没有一奇一偶的亲和数对？已知的每一对，要么两个都是偶数，要么两个都是奇数，从没出现过一奇一偶。大家猜不可能，但没人证得出来。
三、有没有互质的亲和数对？已知的每一对都至少共享一个公因数。数学家能证明的是：如果真有一对互质的亲和数，它们的乘积必须超过 10^67 ——比可观测宇宙里的原子总数还夸张的门槛。
结尾
两千五百年前，毕达哥拉斯拿 220 和 284 解释什么是朋友。今天我们攒下了 12 亿对例子，却依然说不出这样的朋友到底还有多少。
完全数是一个数的自恋，亲和数是两个数的友情。友情比自恋稀有得多，也难缠得多。
最后留个小问题：220 指向 284 ，284 指回 220 。那 1 的真因子和是多少？它指向谁？——答案是 0 。1 谁也不爱。
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发表于 2026-9-8 01:17
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