求 t=√[x^2／4+2x+5-2√(3-3x^2／４)]+4-x 的最小值

dodonaomikiki

\(t=\sqrt{ 0.25x^2+2x+5-2\sqrt{ 3-0.75x^2  }}+4-x\)的最小值



这个时候，x取值又是多少？

dodonaomikiki

是一道CMO的预赛模拟题，感觉不错

xfhaoym

dodonaomikiki 发表于 2026-9-8 08:51
是一道CMO的预赛模拟题，感觉不错

≈1.633

Ysu2008

直接导数并令导数为0
\(t'=\frac{1}{2}\cdot\left( \frac{1}{4}x^2+2x+5-2\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\left[ \frac{1}{2}x+2-2\cdot\frac{1}{2}\left( 3-\frac{3}{4}x^2\right)^{-\frac{1}{2}}\left( -\frac{3}{2}x\right)\right]-1\)
\(=\frac{\frac{1}{2}x+2+\frac{3x}{2\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}}}{2\sqrt{\frac{1}{4}x^2+2x+5-2\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}}}-1=0\)

wolframalpha 居然能解出精确实根 \(x=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)，代入原式得最小值 \(t=5\)

Ysu2008

应该存在至少一个手搓巧解法。

风花飘飘

http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1