三角证明问题：在 ΔABC 中，求证 sinA+sinBsinC≤(1+√5)／2

波斯猫猫

《数学期刊》三角证明问题
原创  九五学长的数学小站  2026 年 9 月 17 日 06:48  江苏
luyuanhong发表于 2026-9-20 00:54

原题：在△ABC中，求证sinA+sinBsinC≤(1+√5)/2.
(注重思维：出现三个角要消元，考虑积化和差？)

思路：不妨令△ABC外接圆的直径是1，

则a=sinA，b=sinB，c=sinC.

又a^2=b^2+c^2-2bccosA≥2bc(1-cosA)，

∴sinA+sinBsinC=a+bc

≤a+a^2/[2(1-cosA)]=sinA+(1+cosA)/2，

=√5sin(A+t)/2+1/2≤(1+√5)/2.

注：看起这么几句，为了不用积化和差，可用到了外接圆/
直径为1/正弦定理/余弦定理/均值不等式/平方关系/三角变
形/最大值等.

luyuanhong

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风花飘飘

猫猫好可爱，本质还是和差化积！

liangchuxu

不用积化和差公式也可以做

风花飘飘

liangchuxu 发表于 2026-9-23 09:17
不用积化和差公式也可以做

风花飘飘

波斯猫猫

在ΔABC中，若sinA+sinBsinC=a+bc，且a,b,c分别

为其角A,B,C的对边，则√2sin(abc/2)＜1.

思路：

∵ sinA+sinBsinC=a+bc，∴ a/k+bc/k^2=a+bc (k＞0)，

即(1/k-1)[a+bc(1/k+1)]=0，或k=1.

∴ 外接圆半径r=k/2=1/2，且sinA=a，b=sinB，c=sinC.

∴ abc/2= 内接SΔABC＜外接圆S=π/4.

∴ sin(abc/2)＜sin(π/4)=1/√2，即√2sin(abc/2)＜1.

注：此思路，巧思妙解/方法初等/清晰简洁/过程丝滑.