3 种待定系数法，会解方程都 OK

luyuanhong

3 种待定系数法，会解方程都 OK

原创  数学好风景  2026 年 9 月 22 日 20:42  重庆

解法实在太多，精力有限，分享 3 种待定系数法意思一下。



数学好风景

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题：求f(x)=√(9-x^2)+4√(x+3)的最大值.
令√(x+3)=a, √(3-x)=b, 则a^2+b^2=6,
且a,b∈[0, √6].
令a=√6cost, b=√6sint, t∈[0, π/2].
∴ f(x)=ab+4a=3sin2t+4√6cost.
令其导数为零，有6cos2t-4√6sint=0,
解得符合题意的√6sint=1, 即x=2.
∴  f(x)max=f(2)=5√5.

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答案： \boldsymbol{5\sqrt5}

简要步骤：

1. 定义域  x\in[-3,3] ，令  a=\sqrt{x+3},\ b=\sqrt{3-x} ，则  a^2+b^2=6 ，且  \sqrt{9-x^2}=ab 。
2.  f=ab+4a 。
3. 三角换元  a=\sqrt6\cos t,\ b=\sqrt6\sin t\ (t\in[0,\frac\pi2]) ，得  f=3\sin2t+4\sqrt6\cos t 。
4. 求导  f'=6\cos2t-4\sqrt6\sin t=0 ，解得  \sin t=\frac1{\sqrt6},\ \cos t=\frac{\sqrt5}{\sqrt6} 。
5. 代入得  f_{\max}=6\cdot\frac1{\sqrt6}\cdot\frac{\sqrt5}{\sqrt6}+4\sqrt6\cdot\frac{\sqrt5}{\sqrt6}=\sqrt5+4\sqrt5=5\sqrt5 。

✅ 最大值  5\sqrt5 。

风花飘飘

结论：最大值为  \boldsymbol{5\sqrt{5}}  ✅

核心步骤（已验证正确）：

1. 定义域  x\in[-3,3]
2. 换元  a=\sqrt{x+3},\ b=\sqrt{3-x} ，则  a^2+b^2=6 ， \sqrt{9-x^2}=ab ，故  f=ab+4a
3. 三角换元  a=\sqrt6\cos t,\ b=\sqrt6\sin t\ (t\in[0,\frac\pi2])
4.  f=3\sin2t+4\sqrt6\cos t ，求导令为0得  \sin t=\frac1{\sqrt6},\cos t=\frac{\sqrt5}{\sqrt6}
5. 代入得  f_{\max}=5\sqrt5